Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Quais são os pontos da interseção entre o paraboloide z = x 2 + y 2 - 3 e o x + 2 y + 3 z = 6 que estão mais próximos da origem? Qual é esta menor distância?

Passo 1

Oi! Tá bem? A gente vai usar nossa imaginação aqui. Então segura na minha mão e vem!

A fórmula da distância entre a origem e um ponto no espaço tridimensional (onde as superfícies estão) é

d = x 2 + y 2 + z 2

A gente quer mínima distância. Então queremos minimizar d . Mas ele disse que para faciitar as contas, a gente pode usar d 2 . E por que? Essa é a d 2 :

d 2 = f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Uma função com raiz quadrada é muito mais dificil de derivar. E a gente precisa calcular derivadas para achar o máximo e mínimo de uma função.

E a gente pode fazer essa mudança porque a função d e a função d 2 tem os mesmos pontos de máximo e de mínimo. Então podemos usar qualquer uma delas, beleza?

Então vamos minimizar a função

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Cara, mas quem são esses valores de x , y , z para gente? São os pontos que são a interseção entre o plano x + 2 y + 3 z = 6 e o paraboloide z = x 2 + y 2 - 3 .

Os pontos pertencem ao mesmo tempo a essas duas superfícies. Ou seja, nossos x , y , z precisam satisfazer essas duas equações.

Percebe o que a gente tem aqui? Temos que minimizar uma função f x , y , z , mas x , y , z estão restringidos a duas equações. Isso quer dizer que temos que usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições!

Nossas restrições são

x + 2 y + 3 z = 6

z = x 2 + y 2 - 3

Aí a gente faz essas mudanças nas equações que são nossas restrições: joga todas as variáveis para um lado e chama o lado das variáveis de uma função nova:

x + 2 y + 3 z - 6 = 0 ∴ g x , y , z = x + 2 y + 3 z - 6

0 = - z + x 2 + y 2 - 3 ∴ h x , y , z = - z + x 2 + y 2 - 3

E agora é montar a fórmulinha

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Por ela a gente acha os nossos pontos. Vem comigo!

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de cada função

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

f x = 2 x ,     f y = 2 y ,     f z = 2 z

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

g x , y , z = x + 2 y + 3 z - 6

∇ g x , y , z = 1,2 , 3

h x , y , z = - z + x 2 + y 2 - 3

∇ h x , y , z = 2 x , 2 y , - 1

Aí a nossa fórmulinha fica

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,2 , 3 + μ 2 x , 2 y , - 1

Daí tiramos as equações

2 x = λ + 2 x μ ,     2 y = 2 λ + 2 y μ ,     2 z = 3 λ - μ

Agora a gente monta um sisteminha com essas equações e as equações que são nossas restrições. Fica assim:

2 x = λ + 2 x μ 2 y = 2 λ + 2 y μ 2 z = 3 λ - μ x + 2 y + 3 z = 6 z = x 2 + y 2 - 3

Partiu resolver esse cara! Segura na minha mão e vem!

Passo 4

Temos

2 x = λ + 2 x μ 2 y = 2 λ + 2 y μ 2 z = 3 λ - μ x + 2 y + 3 z = 6 z = x 2 + y 2 - 3

As duas primeiras equações têm um termo em comum, vamos isolar esse termo nelas

2 x = λ + 2 x μ ∴ λ = 2 x - 2 x μ

2 y = 2 λ + 2 y μ ∴ λ = y - y μ

Igualando essas duas coisinhas

2 x - 2 x μ = y - y μ ∴ 2 x 1 - μ = y 1 - μ

Agora calma: dá para cortar esse termo 1 - μ dos dois lados né? Mas antes, a gente precisa avaliar a situação onde esse termo zera, porque isso também satisfaria nossa equação. Fica assim

1 - μ = 0 ∴ μ = 1

Aí sim, a gente pode voltar para aquela equação e cortar esse termo

2 x 1 - μ = y 1 - μ ∴ 2 x = y

Ficamos então com duas situações para avaliar: μ = 1 ou 2 x = y .

Passo 5

Vamos começar avaliando o caso em que μ = 1 .  

2 x = λ + 2 x μ 2 y = 2 λ + 2 y μ 2 z = 3 λ - μ x + 2 y + 3 z = 6 z = x 2 + y 2 - 3

Substituindo na primeira equação

2 x = λ + 2 x 1 ∴ 2 x = λ + 2 x ∴ λ = 0

Substituindo λ = 0 e μ = 1 na segunda e na terceira:

2 y = 2 ⋅ 0 + 2 y ∴ y = 0

2 z = 3 ⋅ 0 - 1 ∴ z = - 1 2

E substituindo y = 0 e z = - 1 2 na quinta equação

- 1 2 = x 2 + 0 - 3 ∴ x = ± 5 2

Com isso achamos os pontos

5 2 ,   0 , - 1 2 , - 5 2 ,   0 , - 1 2

Vamos testar esses pontos na equação do plano, para ver se eles são nossos candidatos:

x + 2 y + 3 z = 6

5 2 ,   0 , - 1 2 → 5 2 - 3 2 = 6

Esse ponto não satisfez nossa equação. E o outro ponto também não vai satisfazer. Por isso, eles não serão nossos candidatos, belezinha?

Passo 6

Mas calma, ainda tem o caso 2 x = y . Tenha esperança!

2 x = λ + 2 x μ 2 y = 2 λ + 2 y μ 2 z = 3 λ - μ x + 2 y + 3 z = 6 z = x 2 + y 2 - 3

Substituindo y = 2 x na quarta equação

x + 2 y + 3 z = 6 ∴ x + 4 x + 3 z = 6 ∴ z = 6 - 5 x 3

Vamos substituir isso e y = 2 x na última equação:

z = x 2 + y 2 - 3 ∴ 6 - 5 x 3 = x 2 + 4 x 2 - 3 ∴ 6 - 5 x 3 = 5 x 2 - 3

Resolvendo essa equação:

6 - 5 x = 15 x 2 - 9 ∴ 15 x 2 + 5 x - 15 = 0 ∴ 3 x 2 + x - 3 = 0

Δ = 1 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ - 3 = 37

x = - 1 ± 37 6

Daí a gente tira que

y = 2 x = - 1 ± 37 3 ,     z = 6 - 5 x 3 = 2 - 5 3 x = 2 - 5 18 - 1 ± 37

Temos então os pontos:

P 1 = - 1 + 37 6 , - 1 + 37 3 ,   2 - 5 18 - 1 + 37

P 2 = - 1 - 37 6 , - 1 - 37 3 ,   2 - 5 18 - 1 - 37

Passo 7

Agora a gente substitui nossos candidatos na função que queremos minimizar para ver quem vai ser o ponto de distância mínima.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Para o ponto P 1 :

f P 1 = 5 81 151 - 25 37

Para o ponto P 2 :

f P 2 = 5 81 151 + 25 37

Como f P 2 é uma soma de termos positivos, a gente pode considerar ele maior que f P 1 .

Assim, o nosso ponto de mínimo é P 1 , e ele vai ser o ponto da nossa elipse que tem a menor distância em relação à origem.

E para achar que distância é essa, a gente só precisar lembrar que

d 2 = f x , y , z = f P 1 = 5 81 151 - 25 37

d = 5 81 151 - 25 37

Prontinho!

Resposta

P 1 = - 1 + 37 6 , - 1 + 37 3 ,   2 - 5 18 - 1 + 37

d = 5 81 151 - 25 37

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