Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Era uma vez um plano encantado. Neste plano, os habitantes eram os pontos. Um dia, um ponto cientista decidiu medir o quanto cada habitante era legal e criou uma função f que media isso. A função era dada por

f ( x , y ) = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 .

Quanto maior o valor de f ( x , y ) , mais legal o ponto ( x , y ) era.

( a ) Utilize o Método de Multiplicadores de Lagrange, para determinar os pontos mais legais e mais chatos da curva de equação x 2 + y 2 = 16 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A função mede o quanto legal uma pessoa é, ou seja, se queremos saber quem é a pessoa mais legal, temos que procurar o máximo da função

f ( x , y ) = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 .

Poderíamos fazer isso usando métodos de Cálculo 1 , mas o enunciado indica para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange. Se lembra como fazemos isso? O segredo é construir três equações

f x ( x , y ) = λ   g x ( x , y )

f y ( x , y ) = λ   g y ( x , y )

g ( x , y ) = 0

em que f x ( x , y ) e f y ( x , y ) são as derivadas parciais em relação a x e y . E, a função g ( x , y ) é uma restrição que pode ser obtida a partir da expressão

x 2 + y 2 = 16

Aplicando o método iremos encontrar a constante λ que nos dá o ponto de máximo absoluto! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a função g ( x , y ) da restrição

x 2 + y 2 = 16

precisamos obter uma restrição do tipo

g ( x , y ) = 0

portanto, de nossa curva, temos que

g ( x , y ) = x 2 + y 2 - 16 = 0           ( 1 )

Esse passo foi bem curtinho! Mas, tendo isso em mãos podemos calcular as derivadas parciais! Vamos lá!

Passo 3

Lembrando que as derivadas parciais são calculadas considerando constante toda variável que não está sendo derivada, temos que

f x ( x , y ) = ∂ ∂ x [ 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 ]

lembrando que y é visto como constante, e que derivadas de constante são nulas, podemos usar a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

para obter que

f x ( x , y ) = 2 x - 4

Analogamente, temos que

g x ( x , y ) = 2 x

Ou seja, a primeira equação é da forma

2 x   - 4   =   2   λ   x           ( 2 )

Para encontrar a segunda equação, temos que fazer um processo análogo ao que fizemos acima, mas agora considerando x constante e derivando em relação a y , obtemos que

6   y = 2   λ   y           ( 3 )

Vamos resolver o sistema de equação formado por ( 1 ) ,   ( 2 ) e ( 3 ) e obter um ponto de máximo (mínimo) absoluto! Vem comigo!

Passo 4

Aqui temos que as coisas são bem simples! Note que da equação ( 3 ) podemos identificar diretamente que

λ = 3

se usarmos λ = 3 na equação ( 2 ) , temos que

2   x - 4 = 2 ( 3 )   x

Isolando x , obtemos que

x = - 1

Usando x = - 1 em nossa restrição ( 1 ) , temos que

( - 1 ) 2 + y 2 - 16 = 0

de onde podemos obter que

y = ± 15

nós teremos que escolher entre y = + 15 e y = - 15 levando em consideração que queremos o nosso ponto máximo! Para isso, vamos usar a definição de nossa função!

Passo 5

Temos que os pontos têm coordenadas ( x , y , f ( x , y ) ) , portanto, para x = - 1 e y = 15 , obtemos

f ( x , y ) = 2 ( - 1 ) 2 + 3 ( 15 ) 2 - 4 ( - 1 ) - 5 = 2 + 45 + 4 - 5

ou simplesmente

f ( x , y ) = 46

da mesma forma, como temos que f ( x , y ) depende apenas de y 2 , o ponto com y = - 15 , nos levará ao mesmo valor. Ambos são pontos de máximo! Portanto

P 1 = ( - 1 , 15 ,   46 ) e P 2 = ( - 1 ,   - 15 ,   46 )

Mas, e os pontos mais chatos? Ou seja, os pontos de mínimo! Vamos ter que voltar para a equação ( 3 ) , saca só!

Passo 6

A equação ( 3 ) tem mais uma solução, ao invés de tomarmos λ = 3 , e termos uma solução para qualquer y , podemos usar a solução y = 0 , que nos leva para

0 = 0

De nossa restrição, temos que o valor de x será então

x 2 + 0 2 - 16 = 0

e, portanto, temos que

x = ± 4

Temos então dois pontos P 3 = ( 4,0 , f ( 4,0 ) ) e P 4 = ( - 4,0 , f ( - 4,0 ) ) , usando a definição de nossa função, podemos escrever que

f ( 4,0 ) = 2 ( 4 ) 2 + 3 ( 0 ) 2 - 4 ( 4 ) - 5 = 11

e

f ( 4,0 ) = 2 ( 4 ) 2 + 3 ( 0 ) 2 - 4 ( - 4 ) - 5 = 43

ou seja, temos que o ponto de mínimo é

P 3 = ( 4,0 , 11 )

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

Pontos mais legais são P 1 = ( - 1 , 15 ,   46 ) e P 2 = ( - 1 ,   - 15 ,   46 ) e o mais chato P 3 = ( 4,0 , 11 )

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