Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Encontre os valores máximo e mínimo da função

f x , y , z = x

Sobre a curva de interseção do plano

z = x + y

Com o elipsoide

x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 8

Passo 1

Calcular os valores de máximo e mínimo sobre uma curva de interseção é o mesmo que calcular os valores de máximo e mínimo restrito as duas superfícies que formam a curva de interseção.

Assim, vamos usar os multiplicadores de LaGrange com duas restrições:

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ ∇ H x , y , z

Em que G e H são, respectivamente, as equações do plano e do elipsoide, e λ e μ são seus multiplicadores!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

f x , y , z = x

f x = 1

f y = 0

f z = 0

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 1,0 , 0

Agora, para a equação do plano,

G x , y , z = x + y - z

G x = 1

G y = 1

G z = - 1

E, então, nosso vetor gradiente para o plano é:

∇ G x , y , z = 1,1 , - 1

Por fim, para o elipsoide, teremos:

H = x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 - 8

H x = 2 x

H y = 4 y

H z = 4 z

E, finalmente, o vetor gradiente do elipsoide é:

∇ H x , y , z = 2 x , 4 y , 4 z

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:

1,0 , 0 = λ 1,1 , - 1 + μ 2 x , 4 y , 4 z

Igualando as coordenadas, temos:

1 = λ + 2 μ x 0 = λ + 4 μ y 0 = - λ + 4 μ z z = x + y x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 8

Isolando λ na segunda e terceira equação, temos:

λ = - 4 μ y

λ = 4 μ z

Igualando as duas:

4 μ z = - 4 μ y

Antes de cortar o μ , precisamos considerar que μ = 0 pode ser solução.

Beleza, vamos guardar isso então.

Agora podemos cortar e ficamos com

4 z = - 4 y

y = - z

Substituindo isso na quarta equação:

z = x - z

x = 2 z

Substituindo os valores de x e y em função de z na ultima equação:

( 2 z ) 2 + 2 - z 2 + 2 z 2 = 8

4 z 2 + 2 z 2 + 2 z 2 = 8

8 z 2 = 8

z = ± 1

Assim,

x = 2 + 1 = ± 2

y = - ± 1 = ∓ 1

Com isso, chegamos em dois pontos,

P 0 = 2 , - 1,1

P 1 = - 2,1 , - 1

Passo 4

Prosseguindo, temos ainda que testar o que acontece quando μ = 0 , lembra? Colocando esse valor para μ na primeira equação

1 = λ + 2.0 . x

λ = 1

Agora, substituindo na segunda equação, temos

λ + 4.0 . y = 0

λ = 0

Ué, mas como λ pode ser 0 e 1 ao mesmo tempo??

Não pode né?

Isso significa que na verdade, μ = 0 não é solução.

Passo 5

Agora vamos testar pra ver qual é o ponto de máximo e qual é o de mínimo?

Para P 0 = 2 , - 1,1 , temos:

f 2 , - 1,1 = 2

Para P 1 = - 2,1 , - 1 , temos:

f - 2,1 , - 1 = - 2

Fechada a questão! P 0 é o ponto de máximo, e P 1 é ponto de mínimo e os valores máximo e mínimo são 2 e - 2 , respectivamente.

Resposta

Os valores máximo e mínimo são 2 e - 2 , respectivamente.

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