Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Multiplicadores de Lagrange

Seja f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - x y - 2 z . Encontre os pontos de máximo e mínimo de f no conjunto K = { x , y , z ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3 e z ≥ - 1 } .

Passo 1

Em perguntas como essa a primeira coisa é sempre falar que o problema possui solução. Mas temos que justificar, é claro. Vai ser sempre mais ou menos assim: f é contínua (é uma soma de polinômios) e o conjunto K é compacto, logo, pelo teorema de Weierstrass, f possui um máximo e um mínimo em K .

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Passo 2

Agora vamos definir:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

h x , y , z = z + 1

Portanto, o conjunto K é definido por:

K = { x , y , z ∈ R 3     : g x , y , z ≤ 0 e h x , y , z ≥ 0 }

Assim vamos poder ter restrições típicas de multiplicadores de Lagrange, do tipo g x , y , z = 0 e h x , y , z = 0 .

Passo 3

E para usar Lagrange vamos precisar dos gradientes das funções:

∇ f x , y , z = ( 2 x - y ,   2 y - x ,   2 z - 2 )

∇ g x , y , z = ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

∇ h x , y , z = ( 0 ,   0 ,   1 )

Show! Agora podemos procurar os candidatos a máximo e mínimo!

Passo 4

Vamos montar nossa estratégia para achar os máximos e mínimos de f em todo o conjunto K . Como vimos antes, temos g x , y , z ≤ 0 e h x , y , z ≥ 0 . Vamos subdividir essas duas inequações em 4 casos:

  1. g x , y , z < 0 e h x , y , z > 0
  2. g x , y , z = 0 e h x , y , z > 0
  3. g x , y , z < 0 e h x , y , z = 0
  4. g x , y , z = 0 e h x , y , z = 0

Assim estaremos cobrindo todo o conjunto K !

Passo 5

Vamos ao caso 1:

g x , y , z < 0 e h x , y , z > 0   ⇔     x 2 + y 2 + z 2 < 3   e z > - 1

Só temos inequações então não vamos usar os multiplicadores de Lagrange, vamos apenas achar os pontos onde as derivadas parciais de f dão 0 , ou seja onde ∇ f x , y , z = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Lembrando que:

∇ f x , y , z = ( 2 x - y ,   2 y - x ,   2 z - 2 )

Logo:

∇ f x , y , z = 0 ,   0 ,   0 ⇒   2 x - y = 0 2 y - x = 0 2 z - 2 = 0

A solução desse sistema vai ser:

2 x - y = 2 y - x 2 z = 2   ⇒   x = y = 0 z = 1

Assim, achamos o ponto ( 0,0 , 1 ) . E temos:

0 2 + 0 2 + 1 2 = 1 < 3 e z = 1 > - 1

Portanto, o ponto ( 0,0 , 1 ) pertence ao conjunto e é candidato a máximo ou mínimo.

Passo 6

Caso 2:

g x , y , z = 0   e h x , y , z > 0   ⇔     x 2 + y 2 + z 2 = 3   e z > - 1

Agora que temos a restrição g x , y , z = 0 podemos usar Lagrange, respeitando também a condição z > - 1 . Então partiu! Vamos ter:

∇ f x , y , z = λ ∇ g ( x , y , z )

Então nosso sistema vai ser:

2 x - y ,   2 y - x ,   2 z - 2 = λ 2 x ,   2 y ,   2 z   ( 1 ) x 2 + y 2 + z 2 = 3         ( 2 ) z > - 1         ( 3 )

A equação (1) nos dá mais 3 equações:

2 x - y = λ 2 x 2 y - x = λ 2 y 2 z - 2 = λ 2 z   ⇔   y = x ( 2 - 2 λ ) x = y ( 2 - 2 λ ) z 2 - 2 λ = 2

Assim, usando a segunda equação, a primeira fica:

y = y ( 2 - 2 λ ) ( 2 - 2 λ )

2 - 2 λ 2 = 1

2 - 2 λ = ± 1

Ou também podemos ter x = y = 0 . Vamos analisar as opções:

  • Se 2 - 2 λ = 1   vamos ter: x = y e z = 2 . Nesse caso teríamos:
  • x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 2 = 4 > 3

    A equação ( 2 ) do sistema não é respeitada.

  • Se 2 - 2 λ = - 1 vamos ter: x = - y e z = - 2 . Mas devemos ter z > - 1 então essa opção também não é válida.
  • Nos resta apenas a opção x = y = 0 . Logo, pela equação 2 :

z 2 = 3

z = ± 3

Mas como z > - 1 :

z = 3

Portanto, achamos o ponto candidato ( 0,0 ,   3 ) .

Passo 7

Caso 3:

g x , y , z < 0   e h x , y , z = 0   ⇔     x 2 + y 2 + z 2 < 3   e z = - 1

Vamos novamente aplicar Lagrange, com a restrição h x , y , z = 0 , o que nos dá:

∇ f x , y , z = λ ∇ h ( x , y , z )

E o nosso sistema vai ficar:

2 x - y ,   2 y - x ,   2 z - 2 = λ 0,0 , 1   x 2 + y 2 + z 2 < 3 z = - 1

Essa vai ser fácil, já temos z = - 1 . Além disso, pela primeira equação:

2 x - y = 2 y - x = 0

Logo:

x = y = 0

Podemos verificar que 0 2 + 0 2 + - 1 2 < 3 .

Achamos mais um candidato: o ponto ( 0,0 , - 1 ) . Agora vamos pro último caso!

Passo 8

Caso 4:

g x , y , z = 0   e h x , y , z = 0   ⇔     x 2 + y 2 + z 2 = 3   e z = - 1

Bem, agora temos duas restrições g x , y , z = 0 e h x , y , z = 0 . Então não tem jeito: vamos ter que usar 2 multiplicadores de Lagrange. Vamos ter que achar os pontos ( x , y , z ) onde o gradiente da f é uma combinação linear dos gradientes da g e da h . Ou seja:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Então vamos ter:

2 x - y ,   2 y - x ,   2 z - 2 = λ 2 x ,   2 y ,   2 z + μ ( 0,0 , 1 ) x 2 + y 2 + z 2 = 3 z = - 1

Sabemos que z = - 1 , então a segunda equação vai ficar assim:

x 2 + y 2 + - 1 2 = 3   ⇒ x 2 + y 2 = 2

Agora vamos dar uma olhada na primeira equação:

2 x - y = λ 2 x   ⇒ y = x ( 2 - 2 λ )

E:

2 y - x = λ 2 y   ⇒ x = y ( 2 - 2 λ )

Então caímos no sistema:

y = x ( 2 - 2 λ ) x = y ( 2 - 2 λ )

Opa! Já vimos isso antes, lá no caso 2 lembra? A gente concluiu que x = y ou x = - y .

Show! Vai dar pra conciliar isso com a equação x 2 + y 2 = 2 . Desse jeito:

x 2 + y 2 = 2 x ²

x 2 = y 2 = 1

x = y = ± 1

Então vamos achar os candidatos 1,1 , - 1 ,   1 , - 1 , - 1 ,   ( - 1,1 , - 1 ) e ( - 1 , - 1 , - 1 ) .

Passo 9

Depois desse trabalho todo, estamos chegando ao fim. Agora basta calcular o valor da f em todos esses pontos que achamos e ver qual é o máximo e qual é o mínimo, demorô?

Lembrando que temos os pontos:

0,0 , 1   ; 0,0 , 3   ; 0,0 , - 1   ; 1,1 , - 1   ;   1 , - 1 , - 1   ;   - 1,1 , - 1 ; ( - 1 , - 1 , - 1 )

E também, pra refrescar a memória:   f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - x y - 2 z .

Note que 6 é o maior valor: portanto os pontos de máximo de f no conjunto K são ( 1 , - 1 , - 1 ) e ( - 1,1 , - 1 ) .

Além disso, temos:

3 - 2 3 ≈ 3 - 2 1,7 = 3 - 3,4 = - 0,4 > - 1

Portanto, o valor mínimo é - 1 e o ponto de mínimo de f em K é o ponto ( 0,0 , 1 ) .

Resposta

Pontos de máximo: ( 1 , - 1 , - 1 ) e ( - 1,1 , - 1 ) ; valor máximo 6

Ponto de mínimo: ( 0,0 , 1 ) ; valor mínimo - 1 .

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