Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Seja f :   R ³ - R a função definida por f x , y = - x 2 - y 2 - 2 x + 2 y + 1

a) Calcule os pontos crítico de f

b) Calcule o hessiano de f

c) encontre os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela de f, caso existam. Calcule os respectivos valores de f em tais pontos.

d) Considere a curva C do R 2 descrita pela equação x 2 + y 2 = 8 . Utilize o método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f em C.

e) Considere a região A do R 2 dada por:

A = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 8 }

Porque f admite valores de máximo e mínimo em A? utilize os itens c) e d) para determinar os valores máximo e mínimo de f em A.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver juntos?

Vamos resolver passo a passo tudo que ele pede.

Basicamente é a análise da função, com seus pontos críticos, classificação, máximos e mínimos. Depois ele coloca uma restrição e pede pra usar multiplicadores de Langrange.

Vamos nessa?

Passo 2

Letra a)

A expressão dada foi:

f x , y = - x 2 - y 2 - 2 x + 2 y + 1

Para achar pontos críticos precisamos igualar a zero as derivadas parciais e resolver o sistema que surge.

Primeiro a derivada em x :

f x = - 2 x - 2 = 0

x = - 1

E agora em y :

f y = - 2 y + 2 = 0

y = 1

Então aqui temos apenas um ponto!

O único ponto crítico dessa função é em ( - 1,1 ) .

Passo 3

Letra b)

Agora vamos calcular o tal de hessiano D . O hessiano de uma função é uma expressão que envolve as derivadas parciais de segunda ordem da função que estamos estudando.

Como relembrar é viver, o hessiano é:

D = f x x f y y - f x y 2

Precisamos calcular as derivadas de segunda ordem, começando por x :

f x = - 2 x - 2

f x x = - 2

E agora a mista:

f x y = 0

E por fim em y :

f y = - 2 y + 2

f y y = - 2

E agora vamos colocar esses valores em D :

D = - 2 . - 2 - 0 = 4 > 0

Como D independe de x   e   y , então temos que D > 0 sempre. O que faz sentido, pois só temos um ponto crítico e esse é um ponto bem determinado. Vamos classificar daqui a pouco!

Beleza até aqui?

Passo 4

Letra c):

Agora chegou a parte de classificação!

É a hora em que usamos o hessiano e as derivadas segundas! Para classificar um ponto, substituímos os valores das coordenadas na expressão do hessiano e analisamos o sinal.

Podemos ter quatro cenários:

  • D > 0 e f x x > 0 : então o ponto aplicado é mínimo local
  • D > 0 e f x x < 0 : então o ponto é de máximo local
  • D < 0 : ponto de sela
  • D = 0 : inconclusivo

No nosso caso D = 4 > 0 e f x x = - 2 < 0 , então o ponto ( - 1,1 ) é ponto de máximo local.

E o valor da função nesse ponto é:

f ( x , y ) = - x 2 - y 2 - 2 x + 2 y + 1

f - 1,1 = - - 1 2 - 1 2 - 2 . - 1 + 2 . 1 + 1

f - 1,1 = 3

Passo 5

Letra d):

Agora vamos usar multiplicadores de Lagrange!

A função é:

f ( x , y ) = - x 2 - y 2 - 2 x + 2 y + 1

E a restrição:

x 2 + y 2 = 8

E que pode ser escrita assim:

g x , y = x 2 + y 2 - 8

E o teorema dos multiplicadores nos diz que o máx/mín da função sob a restrição vai ser quando a seguinte condição:

∇ f = λ ∇ g

For satisfeita.

Beleza?

Sendo assim, precisamos calcular os gradientes.

Primeiro de f :

f ( x , y ) = - x 2 - y 2 - 2 x + 2 y + 1

∇ f = 〈 - 2 x - 2 ; 2 y + 2 〉

Agora de g :

g x , y = x 2 + y 2 - 8

∇ g = 〈 2 x ; 2 y 〉

E agora substituímos na equação de multiplicadores:

- 2 x - 2 ; - 2 y + 2 = λ 〈 2 x ; 2 y 〉

E comparando componente a componente temos um sistema de duas equações:

1 :   - 2 x - 2 = λ 2 x 2 : - 2 y + 2 = λ 2 y

E mais uma equação com a restrição:

3 : x 2 + y 2 = 8

De (1) temos:

λ = - 2 x - 2 2 x

E de (2) temos:

λ = - 2 y + 2 2 y

E daí λ = λ , então temos uma relação entre x e y :

- 2 x - 2 2 x = - 2 y + 2 2 y

Beleza?

Dividindo todos os termos por 2 e multiplicando cruzado temos o seguinte:

y - x - 1 = x ( - y + 2 )

- x y - y = - x y + 2 x

y = - 2 x

Estamos quase lá!

Agora vamos substituir essa relação na restrição (3):

x 2 + y 2 = 8

x 2 + - 2 x 2 = 8

x 2 = 8 5

x = ± 8 5

E daí temos os valores de y :

y = ∓ 2 8 5

E os pontos são:

P 1 8 5 , - 2 8 5       e         P 2 - 8 5 , 2 8 5

Esses agora são os pontos críticos de f na com a restrição dada.

E pra saber qual é o maior/menor, precisamos substituir na função:

f x , y = - x 2 - y 2 - 2 x + 2 y + 1

E substituindo em P 1 :

f P 1 = - 8 5 2 - - 2 8 5 2 - 2 8 5 + 2 - 2 8 5 + 1

f P 1 = - 8 5 - 4.8 5 - 2 8 5 - 4 8 5 + 1

f P 1 = - 48 5 + 1 - 6 8 5 = - 43 5 - 6 8 5

E agora P 2 :

f P 2 = - - 8 5 2 - 2 8 5 2 - 2 - 8 5 + 2 2 8 5 + 1

f P 1 = - 8 5 - 4.8 5 + 2 8 5 + 4 8 5 + 1

f P 1 = - 48 5 + 1 + 6 8 5 = - 43 5 + 6 8 5

E comparando os dois resultados temos que f P 2 > f ( P 1 ) , portanto:

P 1 : p o n t o   d e   m í n i m o

P 2 : p o n t o   d e   m á x i m o

E também:

f P 1 = - 43 5 - 6 8 5   ( m í n i m o )

f P 2 = 43 5 + 6 8 5 ( m á x i m o )

Agora só falta a letra (e)!

Passo 6

Letra e):

A função admite vários valores porque está sob uma restrição! Sem restrição, a função está “livre” e pode assumir qualquer valor.

Quando temos uma restrição, podemos ter na fronteira algum (ou alguns) pontos em que a função cresce/diminui muito. Aí nesses pontos se olharmos a função sem restrição eles passam despercebidos, mas quando temos restrição eles aparecem como máximos ou mínimos.

Sendo assim temos três pontos críticos: um da função sem restrição e outros dois considerando uma restrição.

Resgatando os valores que a função assume nesses pontos temos:

f - 1,1 = 3

f 8 5 , - 2 8 5 = - 43 5 - 6 8 5

f - 8 5 , 2 8 5 = - 43 5 + 6 8 5

E daí vemos que o ponto - 1,1 é onde a função tem seu valor máximo e no ponto 8 5 , - 2 8 5 ela assume seu mínimo.

Ufa! Acabamos!

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) ( - 1,1 )

b D = 4

c m á x i m o l o c a l   ,   f - 1,1 = 3

( d ) f P 1 = - 43 5 - 6 8 5   ( m í n i m o )

f P 2 = 43 5 + 6 8 5 ( m á x i m o )

e f - 1,1 = 3 ( m á x i m o   d e   f )

f 8 5 , - 2 8 5 = - 43 5 - 6 8 5 ( m í n i m o   d e   f )

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