Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Era uma vez um plano encantado. Neste plano, os habitantes eram os pontos. Um dia, um ponto cientista decidiu medir o quanto cada habitante era legal e criou uma função f que media isso. A função era dada por

f ( x , y ) = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 .

Quanto maior o valor de f ( x , y ) , mais legal o ponto ( x , y ) era.

( b ) Determine os pontos mais legais e mais chatos da região

D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | x 2 + y 2 ≤ 16 } .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A função mede o quanto legal uma pessoa é, ou seja, se queremos saber quem é a pessoa mais legal, temos que procurar o máximo da função

f ( x , y ) = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 .

na alternativa anterior nós usamos o método de multiplicadores de lagrange, construído tal que

f x ( x , y ) = λ   g x ( x , y )

f y ( x , y ) = λ   g y ( x , y )

g ( x , y ) = 0

em que f x ( x , y ) e f y ( x , y ) são as derivadas parciais em relação a x e y . E, a função g ( x , y ) era uma restrição obtida através da curva

x 2 + y 2 = 16

E, obtemos os pontos de máximo como

P 1 = ( - 1 , 15 ,   46 ) e P 2 = ( - 1 ,   - 15 ,   46 )

e, os pontos de mínimo como

P 3 = ( 4,0 , 11 )

Mas, qual a diferença para esta alternativa? Note que temos ao invés da curva, a região

D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | x 2 + y 2 ≤ 16 }

ou seja, ao invés de estarmos trabalhando puramente na borda da circunferência, iremos estar analisando toda a região interna a ela! Saca só como isso vai mudar o nosso problema!

Passo 2

Vamos dar uma olhada na região, temos que

O cilindro vermelho indica a nossa região, note que P 1 e P 2 continuam sendo os pontos de máximo! Mas, uma vez que não estamos considerando mais apenas as bordas, P 3 deixa de ser o ponto de mínimo! O novo mínimo será dado por P 4 indicado na figura da esquerda! Vamos tentar achá-lo!

Passo 3

Agora, para achar esse mínimo, vamos precisar aplicar outros métodos que não o de multiplicadores de lagrange! E, para começar, precisaremos verificar os pontos críticos de nossa função, ou seja, onde as derivadas parciais são iguais a zero, nós calculamos na alternativa anterior que

f x ( x , y ) = 2 x - 4 e f y ( x , y ) = 6   y

obtemos então o ponto que tem coordenadas x = 1 / 2 e y = 0 . Mas, como garantimos que isso é mínimo? Pelo gráfico é bastante óbvio, mas vamos fazer isso matematicamente! Precisamos analisar a matriz Hessiana dada por

teremos as três situações, se no ponto crítico ( x 0 , y 0 ) , termos d e t ( H ( x 0 , y 0 ) ) > 0 , então o ponto é um máximo ou mínimo, se d e t ( H ( x 0 , y 0 ) ) < 0 temos um ponto de sela, e se d e t ( H ( x 0 , y 0 ) ) = 0 , não podemos determinar! Quando chegar a hora eu apresento como diferenciar entre o máximo e mínimo! Vamos calcular agora as nossas segundas derivadas, já que iremos precisar! Saca só!

Passo 4

Calculando as derivadas em relação a x , tomamos y como constante, isso resulta em

f x x ( x , y ) = ∂ 2 ∂ x 2 f ( x , y ) = 2 e f y x ( x , y ) = ∂ 2 ∂ x ∂ y f ( x , y ) = 0

em que usei a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

e que a derivada de constante é igual a 0 . Agora, se derivarmos em relação a y , temos que

f y x ( x , y ) = ∂ 2 ∂ y ∂ x f ( x , y ) = 0 e f y y ( x , y ) = ∂ 2 ��� y 2 f ( x , y ) = 6

Substituindo em nossa matriz, e calculando o determinante, obtemos que

d e t ( H ( x , y ) ) = 12 - 0 = 12

Como d e t ( H ( x , y ) ) > 0 , temos que esse é um ponto de máximo, ou mínimo! Como sabemos qual? É apenas analisar a condição

Mínimo: ∂ 2 ∂ x 2 [ f ( x , y ) ] > 0 e Máximo: ∂ 2 ∂ x 2 [ f ( x , y ) ] < 0 .  

Sendo assim, temos um ponto de mínimo! Ou seja, o nosso ponto é tal que P 4 = ( 1 / 2,0 , f [ 1 / 2,0 ] ) , substituindo as coordenadas em nossa função, obtemos que

f ( 1 / 2,0 ) = 2 ( 1 / 2 ) 2 + 3 ( 0 ) 2 - 4 ( 1 / 2 ) - 5 = - 13 / 2

Resumindo, temos que

P 4 = ( 1 / 2,0 , - 13 / 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Pontos mais legais são P 1 = ( - 1 , 15 ,   46 ) e P 2 = ( - 1 ,   - 15 ,   46 ) e o mais chato P 4 = ( 1 / 2,0 , - 13 / 2 )

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