Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Cálculo 2 USP, P3 2014, questão 2

Seja f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

  1. Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
  2. S = x , y , z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1

  3. Determine os pontos de mínimo e de máximo de f no conjunto

D = x , y , z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1   e   x + y + z = 1

Passo 1

a )

Para provar que existem máximos ou mínimos, independente da quantidade deles, tudo o que temos que fazer é calculá-los, nesse caso, usando multiplicadores de Lagrange, pois temos a restrição da esfera!

Assim essa restrição vai ser

E x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Vamos resolver pelo método da matriz, que tal? Podemos dizer que

i ^ j ^ k ^ f x f y f z E x E y E z = 0,0 , 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Pois os vetores gradiente de f   e E são múltiplos um do outro.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, agora temos que encontrar os vetores gradientes!

Para a função f x , y , z , temos:

f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

f x , y , z = f x , f y , f z

Calculando as derivadas parciais,

f x x , y , z = 2 x

f y x , y , z = 2 y

f z x , y , z = - 2 z

E o vetor gradiente é:

f x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z

Passo 3

Agora calcularemos o vetor gradiente da esfera:

E = x 2 + y 2 + z 2 - 1

E x , y , z = E x , E y , E z

Calculando as derivadas parciais, teremos:

E x x , y , z = 2 x

E y x , y , z = 2 y

E z x , y , z = 2 z

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais (coordenadas dos vetores gradientes), podemos resolver o sistema do Passo 1 ! Veja como fica o determinante:

i ^ j ^ k ^ 2 x 2 y - 2 z 2 x 2 y 2 z = 0,0 , 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Desenvolvendo o determinante, teremos:

4 y z i ^ + 4 x y k ^ - 4 x z j ^ - 4 x y k ^ + 4 y z i ^ - 4 x z j ^ = 0,0 , 0

E agora igualando cada componente i ^ ,   j ^   e   k ^ a 0 , teremos:

4 y z + 4 y z i ^ = 0

- 4 x z - 4 x z j ^ ^ = 0

4 x y - 4 x y k ^ = 0

E daí tiramos que:

y z = 0 x z = 0 x y = x y

Passo 5

Beleza, agora temos que ver quais são os possíveis valores de x , y e z .

Da primeira equação, temos que ou y ou z devem ser iguais a 0 . Para a segunda, ou x ou z devem ser iguais a 0 . Ou seja, no caso de z = 0 , qualquer par x , y atende a qualquer uma das equações!

Colocando essa nossa conclusão na equação da restrição, teremos que:

x 2 + y 2 + 0 2 - 1 = 0

x 2 + y 2 = 1

E o valor de f x , y , z nesses pares x , y será:

f x , y , z = x 2 + y 2 - 0 2 + 3

Como pela restrição x 2 + y 2 = 1 ,

f x , y , z = 1 + 3 = 4

Ou seja, temos infinitos pontos nos quais a função vale 4 .

Passo 6

Mas e no caso de z 0 ? Bom, se for assim, pela primeira equação, então y deve valer 0 , e pela segunda x deve valer 0 ! Então, x = y = 0 . Colocando esse valor na restrição, teremos:

0 2 + 0 2 + z 2 - 1 = 0

z = ± 1

E aí está! z deve ser ± 1 !

Colocando esses valores na função f , teremos:

f x , y , z = 0 2 + 0 2 - ± 1 2 + 3

f x , y , z = - 1 + 3 = 2

E pronto, é só isso, acabamos de ver que para os pontos 0,0 , ± 1 , o valor da função é 2 . E enquanto isso, para os pontos x , y , 0 ela assume valor 4 .

Isso prova que ela tem infinitos pontos de máximo e apenas dois pontos de mínimo!

Passo 7

b )

Note que agora temos uma segunda restrição, o plano x + y + z = 1 . Assim, vamos aplicar Lagrange novamente, mas acrescentando essa outra restrição. É mais ou menos o que fizemos no item a , mas agora o sistema fica sendo:

f x f y f z H x H y H z E x E y E z = 0,0 , 0 x + y + z - 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Onde

E = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

H = x + y + z - 1 = 0

E, lembrando do item a já sabemos que f x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z e que E x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 8

Calculando agora o gradiente da função H x , y , z = x + y + z - 1 :

H x , y , z = H x ,   H y , H z

Sendo que suas derivada parciais são:

H x = 1

H y = 1

H z = 1

E o gradiente é H x , y , z = 1,1 , 1

Passo 9

E repetimos o mesmo processo do item a , vamos montar o determinante e igualar cada componente a 0 . Colocando os valores das derivadas nele fica:

2 x 2 y - 2 z 1 1 1 2 x 2 y 2 z = 0,0 , 0 x + y + z - 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

E o determinante fica:

2 x 2 y - 2 z 1 1 1 2 x 2 y 2 z = 4 x z - 4 y z + 4 x y + 4 x z - 4 x y - 4 y z = 0

Dessa vez, como não temos os unitários i ^ ,   j ^ ,   k ^ , não faz sentido igualar a uma vetor, mas sim ao escalar 0 ! Parece tornar tudo mais difícil, né? De fato... mas tenha em mente que essa parada é metódica, então temos que conseguir tirar alguma relação conveniente daí.

Parece uma boa ideia juntar os termos iguais e cortar os que se anulam:

8 x z - 8 y z = 0

Beeem melhor, não? To falando… a parte difícil já passou :) Agora vamos dividir por 8 e colocar o z em evidência:

z x - y = 0

E pronto! Já consegue descobrir alguma relação entre x , y e z ?

Passo 10

O que podemos concluir do passo anterior, é que para a equação valer 0 , ou z vale 0 , ou x - y vale 0 ! Na primeira opção, colocando z = 0 nas restrição, teremos:

x + y + 0 = 1 x 2 + y 2 + 0 2 = 1

Pela primeira equação, temos que x = 1 - y . Se colocarmos esse valor na segunda, fica:

1 - y 2 + y 2 = 1

1 - 2 y + y 2 + y 2 = 1

Cortando os 1 e juntando os y 2 :

- 2 y + 2 y 2 = 0

Dividindo por 2 colocando o y em evidência:

y y - 1 = 0

E pronto! Temos, dessa equação que ou y = 0 , ou y = 1 !

Passo 11

Para descobrir os valores de x , basta colocar os valores de y em uma das restrições. Como a primeira é menos chata (não tem nada ao quadrado), vamos escolher essa. Colocando y = 1 na primeira restrição, teremos:

x + 1 + 0 = 1

x = 0

Colocando y = 0 na primeira restrição, teremos:

x + 0 + 0 = 1

x = 1

Como quando y = 0 , x = 1 e quando x = 0 , y = 1 , ambas as conclusões tendo z = 0 , formamos os pontos 1,0 , 0 e 0,1 , 0 !

Passo 12

Beleza, agora vamos voltar na conta do determinante. Tínhamos:

z x - y = 0

Então ainda vamos testar a opção, de x - y = 0 . Se assumirmos isso, então podemos fazer que x = y . Colocando essa relação das restrições, teremos:

y + y + z = 1 y 2 + y 2 + z 2 = 1

Ou seja,

2 y + z = 1 2 y 2 + z 2 = 1

E da primeira equação temos que z = 1 - 2 y . Colocando esse valor na segunda equação, teremos:

2 y 2 + 1 - 2 y 2 = 1

2 y 2 + 1 - 4 y + 4 y 2 = 1

Cortando os 1 e juntando os y 2 , temos:

6 y 2 - 4 y = 0

Colocando y em evidência,

y 6 y - 4 = 0

E daí tiramos que, ou y = 0 , ou y = 2 3 ;) Mesma coisa que no passo anterior!

Passo 13

Colocando esses dois valores que encontramos para y na primeira equação da restrição temos, lembrando que estamos adotando x = y , para y = 0 :

0 + 0 + z = 1

E pronto... z = 1 !

Colocando o segundo valor na primeira restrição, teremos:

2 3 + 2 3 + z = 1

z = - 1 3

Como agora temos os valores de z para cada " x = y " correspondente, formamos os pontos 0,0 , 1 e 2 3 , 2 3 ,   - 1 3 .

Passo 14

E, finalmente agora que temos os pontos, podemos ver seus valores correspondentes para f e definir quais são máximo e quais são mínimos! Lembrando que

f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

Colocando o ponto 1,0 , 0 , teremos:

f 1,0 , 0 = 1 2 + 0 2 - 0 2 + 3 = 4

Colocando o ponto 0,1 , 0 , teremos:

f 0,1 , 0 = 0 2 + 1 2 - 0 2 + 3 = 4

Colocando o ponto 0,0 , 1 , teremos:

f 0,0 , 1 = 0 2 + 0 2 - 1 2 + 3 = 2

Colocando o ponto 2 3 , 2 3 , - 1 3 , teremos:

f 2 3 , 2 3 , - 1 3 = 2 3 2 + 2 3 2 - 1 3 2 + 3 = 3 + 7 9

E com isso, temos que 1,0 , 0 e 0,1 , 0 são pontos de máximo, enquanto 0,0 , 1 é ponto de mínimo.

Resposta

a) Ponto de máximo: x , y , 0 . Ponto de mínimo: 0,0 , ± 1

b)   1,0 , 0 e 0,1 , 0 são pontos de máximo, enquanto 0,0 , 1 é ponto de mínimo.

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