Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

PUCRIO - (Cálculo 2 - MAT1162) - G2 (Versão A) 2020.1

Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem 2   m 2 e a soma dos comprimentos de todas as arestas é 8   m

Passo 1

Bora começar? Galera, é o seguinte. Primeiríssima coisa é dar nome aos bois. Temos uma caixa retangular, ou seja, um paralelepípedo. De forma genérica:

Onde, certamente:

x > 0 y > 0 z > 0

Afinal, eu nunca vi uma caixa com tamanho negativo hahaha. A questão quer um volume máximo, então sabemos já que é uma questão de otimização multivariável. O volume vai ser definido por:

V = x y z

Mas calma lá galera, esse volume tem restrições. Afinal, a superfície ( S ) tem valor fixo de 2 m 2 , isto é

S = 2 x y + 2 x z + 2 z y = 2

E a soma dos comprimentos de todas as arestas C também é fixa e dá 8 m , logo:

C = 4 x + 4 y + 4 z = 8

Já deu pra ver que vamos precisar usar Multiplicadores de Lagrange com duas Restrições. De S e C respectivamente, tiramos as seguintes restrições, ao dividir os dois lados por 2 e 4 , respectivamente:

s x , y , z = x y + x z + z y = 1

c x , y , z = x + y + z = 2

Daqui em diante, o que faremos então será calcular:

∇   V x , y , z = λ ∙ ∇   s x , y , z + μ ∙ ∇   c x , y , z

O que é o mesmo que o sistema:

V x x , y , z = λ ∙ s x x , y , z + μ ∙ c x x , y , z V y x , y , z = λ ∙ s y x , y , z + μ ∙ c y x , y , z V z x , y , z = λ ∙ s z x , y , z + μ ∙ c z x , y , z

Mãos a obra!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse passo vamos calcular as derivadas então, belê? A começar pelas derivadas parciais da fórmula do volume V x , y , z = x y z . Vamos ter:

V x x , y , z = ∂   V x , y , z ∂ x = ∂   x y z ∂ x = y z

V y x , y , z = ∂   V x , y , z ∂ y = ∂   x y z ∂ y = x z

V z x , y , z = ∂   V x , y , z ∂ z = ∂   x y z ∂ z = x y

Agora pra restrição s x , y , z = x y + x z + z y , derivamos e achamos:

s x x , y , z = ∂   s x , y , z ∂ x = ∂   x y + x z + z y ∂ x = y + z

s y x , y , z = ∂   s x , y , z ∂ y = ∂   x y + x z + z y ∂ y = x + z

s z x , y , z = ∂   s x , y , z ∂ z = ∂   x y + x z + z y ∂ z = x + y

E por fim, pra restrição c x , y , z = x + y + z , derivamos e achamos:

c x x , y , z = ∂   c x , y , z ∂ x = ∂   x + y + z ∂ x = 1

c y x , y , z = ∂   c x , y , z ∂ y = ∂   x + y + z ∂ y = 1

c z x , y , z = ∂   c x , y , z ∂ z = ∂   x + y + z ∂ z = 1

O sistema de equações então se resume a:

y z = λ ∙ y + z + μ       1 x z = λ ∙ x + z + μ       2 x y = λ ∙ x + y + μ       3

Passo 3

Show galera, o que vamos fazer agora é mexer com as equações pra gerar as restrições necessárias. Veja que em todas elas a gente tem um μ solto que dá pra eliminar subtraindo uma equação da outra! Fazendo 1 - 2 , achamos:

y z - x z = λ ∙ y + z + μ - λ ∙ x + z - μ

y z - x z = λ ∙ y + z - x - z

y z - x z = λ ∙ y - x

Colocando z em evidência do lado esquerdo:

z ∙ y - x = λ ∙ y - x

z ∙ y - x - λ ∙ y - x = 0

E colocando agora y - x em evidência:

y - x z - λ = 0

Portanto pra isso ser possível ou y = x ou z =   λ . Show! Mas isso aiiiinda não nos diz nada. Portanto, vamos precisar mexer mais com as equações do sisteminha. De forma parecida, bora fazer 3 - 1 agora:

x y - y z = λ ∙ x + y + μ - λ ∙ y + z - μ

y ∙ x - z = λ ∙ x + y - y - z

y ∙ x - z = λ ∙ x - z

y ∙ x - z - λ ∙ x - z = 0

E colocando x - z em evidência:

x - z y - λ = 0

O que resulta em ou x = z ou y = λ . Ai você vai me perguntar: tá, mas e dai? Veja bem, a gente sabe já que y = x e x = z satisfazem as equações, mas não sabemos quem é λ ! Relaxa que não tem problema, afinal se:

y ≠ x

x ≠ z

Então quem tá certo é a outra condição, pra cada um dos casos, que seria:

z =   λ

y = λ

O que implica em z = y ! Show! As condições que vamos testar então são:

y = x

x = z

z = y

Vamos usar cada uma dessas igualdades dentro da equação das restrições

s x , y , z = x y + x z + z y = 1

c x , y , z = x + y + z = 2

E ver quais pontos surgem nesses casos. Partiu?

Passo 4

Primeiro caso: y = x

Nesse caso, vamos ter nossas restrições se tornando:

s x , z = x 2 + x z + z x = 1

c x , z = x + x + z = 2

O mesmo que:

x 2 + 2 x z = 1

2 x + z = 2

Conseguimos isolar z na segunda equação, achando z = 2 - 2 x . Usando essa equação dentro da primeira, achamos:

x 2 + 2 x 2 - 2 x = 1

x 2 + 4 x - 4 x 2 = 1

- 3 x 2 + 4 x - 1 = 0

Opa, polinômio de segundo grau! Seja:

- 3 x 2 + 4 x - 1 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2 = 0

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Calculamos:

x 1,2 = - 4 ± 16 - 4 ∙ - 3 ∙ - 1 - 6 = 4 ∓ 16 - 12 6

x 1,2 = 4 ∓ 4 6 = 4 ∓ 2 6 = 4 - 2 6 = 2 6 = 1 3 4 + 2 6 = 6 6 = 1

Logo, o polinômio se reduz a:

- 3 x 2 + 4 x - 1 = - 3 ∙ x - 1 ∙ x - 1 3 = 0

Resultando em dois valores de x possíveis:

x = y = 1

x = y = 1 3

Achamos o valor de z bem rapidinho, nesse caso, se jogarmos x , y dentro da restrição 2 :

c 1,1 , z = 1 + 1 + z = 2 → z = 0

c 1 3 , 1 3 , z = 1 3 + 1 3 + z = 2 → z = 4 3

Resultando nos pontos:

P 1 = 1,1 , 0

P 2 = 1 3 , 1 3 , 4 3

Passo 5

Segundo caso: x = z

É galera, não tem jeito, vamos repetir os procedimentos ok? Primeira coisa que fizemos antes foi reescrever as restrições, né não? A mesma coisa aqui! Elas vão virar

s y , z = z y + z 2 + z y = 1

c y , z = z + y + z = 2

O que é o mesmo que:

z 2 + 2 z y = 1

2 z + y = 2

E galera, olha só a macete! O nosso segundo caso ficou muito parecido com o primeiro! Só mudou quem chamamos de que! Se seguirmos a mesma estratégia e isolarmos y = 2 - 2 z , na primeira euqção vamos ter um polinômio de segundo grau de z com a mesma cara do polinômio que achamos no passo anterior:

- 3 z 2 + 4 z - 1 = a z 2 + b z + c = a z - z 1 z - z 2 = 0

- 3 z 2 + 4 z - 1 = - 3 ∙ z - 1 ∙ z - 1 3 = 0

Resultando em dois valores de z possíveis:

z = x = 1

z = x = 1 3

E pra esses valores, dentro da restrição c , achamos os mesmos valores de y :

c 1 , y , 1 = 1 + y + 1 = 2 → y = 0

c 1 3 , y , 1 3 = 1 3 + y + 1 3 = 2 → y = 4 3

Resultando nos pontos:

P 3 = 1,0 , 1

P 4 = 1 3 , 4 3 , 1 3

Terceiro caso: z = y

Ok, vimos que o primeiro caso teve muita coisa em comum com o segundo, mas será que o terceiro tem também? Se você apostou que sim, apostou certo! Podemos até poupar contas (mas não poupa na prova não tá? Só aqui mesmo) e extrapolar. Como do caso 1 pro 2 acabou acontecendo isso:

Do caso 1 pro 3 vai acabar acontecendo isso:

Gerando os últimos dois pontos:

P 5 = 0,1 , 1

P 6 = 4 3 , 1 3 , 1 3

Passo 6

Quase acabando galera! Conseguimos todos os pontos possíveis, mas como eles afetam o valor do volume!? Os pontos são:

P 1 = 1,1 , 0

P 2 = 1 3 , 1 3 , 4 3

P 3 = 1,0 , 1

P 4 = 1 3 , 4 3 , 1 3

P 5 = 0,1 , 1

P 6 = 4 3 , 1 3 , 1 3

E o volume é:

V x , y , z = x y z

Pô pessoal, a função é um produto de todas as variáveis, então os pontos 1,3 , 5 que só são diferentes um do outro pela posição do 0 vão ter o mesmo resultado:

V = 1 ∙ 1 ∙ 0 = 0

E bem, eu duvido que o maior volume seja zero. Portanto, seguindo a mesma ideia, como os pontos 2,4 , 6 também só são diferentes um do outro pela posição do 4 3 , o volume será:

V = 1 3 ∙ 1 3 ∙ 4 3 = 4 27

Então feshow galera! O volume máximo vai ser 4 27   m 3

Resposta

V m a x = 4 27   m 3  

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