Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Determine, caso existam, os pontos de máximo e mínimo da função f x , y , z = 2 x 2 - y 2 - z 2 sobre o conjunto D = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 5   e   x + z = 2 .

Passo 1

A primeira coisa a fazer é sempre justificar que o problema tem solução. (Isso se ele tiver né, mas duvido que façam uma questão dessas que o problema não tenha solução hahaha)

O conjunto D é o pedaço do plano x + z = 2 que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z - 1 2 = 5 , portanto ele é fechado e limitado. Além disso, f é contínua sobre D .

Então, pelo teorema de Weierstrass f tem ponto de mínimo e de máximo sobre D .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Passadas as formalidades, chegou a hora de botar a mão na massa.

Deu pra identificar que esse é um problema de multiplicadores de Lagrange com 2 restrições? Então vamos dar nome aos bois! Isto é, definir uma g x , y , z e uma h x , y , z .

Começando pela esfera (atenção, vamos pegar só a esfera, ou seja, a casca, depois nos preocupamos com o interior dela):

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 5

Jogando tudo pra esquerda:

x 2 + y 2 + z - 1 2 - 5 = 0

Chamamos o lado esquerdo de g x , y , z :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z - 1 2 - 5

Ou seja, agora temos uma restrição “lagrangeana” do tipo g x , y , z = 0 .

Passo 3

Façamos o mesmo com plano:

x + z = 2

x + z - 2 = 0

h x , y , z = x + z - 2

Assim obtemos a segunda restrição, h x , y , z = 0 .

Passo 4

Agora vamos calcular os gradientes de f ,   g e h :

∇ f x , y , z = 4 x ,   - 2 y ,   - 2 z

∇ g x , y , z = 2 x ,   2 y ,   2 z - 2

∇ h x , y , z = 1 ,   0 ,   1

Passo 5

Beleza, então a equação dos multiplicadores de Lagrange é:

4 x - 2 y - 2 z 2 x 2 y 2 z - 2 1 0 1 = 0

Acrescentando as equações das restrições, caímos no sistema:

4 x - 2 y - 2 z 2 x 2 y 2 z - 2 1 0 1 = 0 x 2 + y 2 + z - 1 2 - 5 = 0 x + z - 2 = 0

Passo 6

O determinante é igual a:

4 x . 2 y . 1 - 2 y 2 z - 2 . 1 - 2 z . 2 x . 0 - 1.2 y . - 2 z + 0 . 2 z - 2 . 4 x + 1.2 x . - 2 y

= 8 x y - 4 y z + 4 y + 4 y z + 4 x y

= 12 x y + 4 y = 0

Então o sistema ficou:

12 x y + 4 y = 0 ( 1 ) x 2 + y 2 + z - 1 2 = 5 ( 2 ) x + z = 2 3

Passo 7

Pela equação 1 :

y 12 x + 4 = 0

⇒ y = 0   o u   12 x + 4 = 0

⇒ y = 0   o u   x = - 4 12 = - 1 3

  • caso 1: y = 0
  • Pela equação 3 , temos z = 2 - x . Substituindo na segunda equação, isso dá

    x 2 + 0 2 + 2 - x - 1 2 = 5

    x 2 + 1 - x 2 = 5

    x 2 + 1 - 2 x + x 2 = 5

    ⇒ 2 x 2 - 2 x - 4 = 0

    Passo 8

    Resolvendo a equação do 2º grau:

    x = 2 ± 4 - 4.2 . - 4 4 = 2 ± 36 4

    x = 2 ± 6 4

    x = 2   o u   x = - 1

    E como z = 2 - x :

  • se x = 2 , então z = 0
  • se x = - 1 , então z = 3

Então pro caso 1 y = 0 obtemos os pontos 2 ,   0 ,   0 e - 1 ,   0 ,   3 .

Passo 8

  • caso 2: x = - 1 3

Pela equação 3 obtemos

z = 2 + 1 3 = 7 3

Substituindo na equação 2 :

- 1 3 2 + y 2 + 7 3 - 1 2 = 5

1 9 + y 2 + 4 3 2 = 5

y 2 + 17 9 = 45 9

y 2 = 45 - 17 9 = 28 9

⇒ y = ± 28 3 = ± 2 7 3

Beleza, então aqui achamos dois pontos: - 1 3 , 2 7 3 , 7 3 e - 1 3 , - 2 7 3 , 7 3 .

Passo 9

Vou dar uma resumida rápida no que fizemos até agora, tranquilo?

Nós usamos os multiplicadores de Lagrange pra procurar candidatos a ponto de máximo e mínimo de f na fronteira do conjunto D , que é delimitada pela interseção da esfera x 2 + y 2 + z - 1 2 = 5 com o plano x + z = 2 .

Achamos 4 pontos: 2 ,   0 ,   0 ,     - 1 ,   0 ,   3 ,     - 1 3 , 2 7 3 , 7 3 e - 1 3 , - 2 7 3 , 7 3 .

Mas ainda falta procurar pontos no interior de D , que é o pedaço do plano x + z = 2 dentro da esfera x 2 + y 2 + z - 1 2 = 5 , ou seja, que satisfaz x 2 + y 2 + z - 1 2 < 5 .

Então nesse caso o que vamos fazer é aplicar Lagrange pra f com só uma restrição x + z = 2 . Depois basta pegar os eventuais pontos que acharmos e testar se eles estão dentro da esfera. Se tiver algum a gente guarda ele.

Show de bola?? Então simbora.

Passo 10

A nossa restrição agora é só a do plano:

x + z = 2 ⇔ h x , y , z = 0

Felizmente vamos aproveitar um monte de conta que a gente fez lá atrás. Lembrando:

∇ f x , y , z = 4 x ,   - 2 y ,   - 2 z

∇ h x , y , z = 1 ,   0 ,   1

Então agora o nosso sistema de Lagrange é:

i j k 4 x - 2 y - 2 z 1 0 1 = 0 ,   0 ,   0 x + z = 2

Passo 11

O determinante é:

- 2 y i - 2 z j + 2 y k - 4 x j = 0 ,   0 ,   0

⇒ - 2 y ,   - 2 z - 4 x ,   2 y = 0 ,   0 ,   0

Podemos ver que

- 2 y = 2 y = 0

⇒ y = 0

E que

- 2 z - 4 x = 0

⇒ z = - 2 x

E como x + z = 2 , temos

x - 2 x = 2

x = - 2

⇒ z = 4

Então achamos o ponto - 2 ,   0 ,   4 .

Passo 12

Vamos testar se esse ponto está dentro da esfera. Pra isso ele tem que satisfazer

x 2 + y 2 + z - 1 2 < 5

Temos

- 2 2 + 0 2 + 4 - 1 2 = 4 + 9 = 13 > 5

Opa, então o ponto não está dentro da esfera, então ele não pertence ao conjunto D .

Ou seja, podemos descartar esse ponto sem nenhum pudor! Adeus! :)

Passo 13

Sobraram só os 4 pontos que achamos antes:

2 ,   0 ,   0

- 1 ,   0 ,   3

- 1 3 , 2 7 3 , 7 3

- 1 3 , - 2 7 3 , 7 3

Agora chegou a hora do “paredão”, vamos calcular o valor da função em cada ponto e descobrir quais são os pontos de máximo e de mínimo. Os pontos vencedores terão a honra de aparecer lá embaixo no quadro de Resposta enquanto os perdedores vão ser mandados pra casa.

Lembrando que f x , y , z = 2 x 2 - y 2 - z 2 :

f 2 ,   0 ,   0 = 2.4 - 0 - 0 = 8

f - 1 ,   0 ,   3 = 2 - 0 - 9 = - 7

f - 1 3 , 2 7 3 , 7 3 = f - 1 3 , - 2 7 3 , 7 3 = 2 9 - 4 . 7 9 - 49 9

= 2 - 28 - 49 9 = - 75 9 ≅ - 8,33

Concluímos que o ponto de máximo é 2 ,   0 ,   0 e os pontos de mínimo são - 1 3 , 2 7 3 , 7 3 e - 1 3 , - 2 7 3 , 7 3 . Afinal o único ponto forever alone que não foi premiado é o ponto - 1 ,   0 ,   3 .

Resposta

Ponto de máximo: 2 ,   0 ,   0

Pontos de mínimo: - 1 3 , 2 7 3 , 7 3 e - 1 3 , - 2 7 3 , 7 3

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