Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo da função

f x , y , z = x y + z

Restrita aos pontos da curva dada pela interseção do plano

x + y + z = 1

Com a esfera unitária

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Para provar que existem máximos ou mínimos, independente da quantidade deles, tudo o que temos que fazer é calculá-los, nesse caso, usando multiplicadores de Lagrange, pois temos duas restrições.

Assim as restrições vão ser

E ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

H ( x , y , z ) = x + y + z - 1 = 0

Vamos resolver pelo método da matriz, que tal? Podemos dizer que

f x f y f z E x E y E z H x H y H z = 0,0 , 0 x + y + z - 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular todos esses gradientes aí.

Começando pelo gradiente de f :

f x , y , z = x y + z

∇ f x , y , z = y , x , 1

Agora o gradiente da restrição H :

H ( x , y , z ) = x + y + z - 1 = 0

∇ H ( x , y , z ) = 1,1 , 1

Por fim, o gradiente da restrição E :

E ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

∇ E x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Mas podemos dividir isso por 2 , pois assim facilitamos as contas e não alteramos a direção do vetor, apenas seu módulo e isso não tem problema. Ficamos então com

∇ E x , y , z = x , y , z

Passo 3

Vamos montar o determinante e igualar cada componente a 0 . Colocando os valores das derivadas nele fica:

y x 1 x y z 1 1 1 = 0,0 , 0 x + y + z - 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

E o determinante fica:

y x 1 x y z 1 1 1 = y 2 + x z + x - y - y z - x 2 = 0

Dessa vez, como não temos os unitários i ^ ,   j ^ ,   k ^ , não faz sentido igualar a uma vetor, mas sim ao escalar 0 ! Parece tornar tudo mais difícil, né? De fato... mas tenha em mente que essa parada é metódica, então temos que conseguir tirar alguma relação conveniente daí. E, de fato, podemos tirar que:

x - y z + 1 - x - y = 0

E pronto! Já consegue descobrir alguma relação entre x , y e z ?

Passo 4

O que podemos concluir do passo anterior, é que para a equação valer 0 , ou x - y = 0 , ou z + 1 - x - y = 0 .

Da primeira opção, podemos tirar que

x = y

Substituindo isso nas equações das restrições, temos

x + x + z = 1 x 2 + x 2 + z 2 = 1

Pela primeira equação, temos que z = 1 - 2 x . Se colocarmos esse valor na segunda, fica:

2 x 2 + 1 - 2 x 2 = 1

2 x 2 + 1 - 4 x + 4 x 2 = 1

6 x 2 - 4 x = 0

2 x 3 x - 2 = 0

Assim

x = 0

Ou

3 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 3

Passo 5

Então, como estávamos partindo do pressuposto que x = y e z = 1 - 2 x , temos

y = 0

E

z = 1

Ou

y = 2 3

z = 1 - 2 . 2 3 = - 1 3

Temos então os candidatos:

P 1 = ( 0,0 , 1 )

P 2 = 2 3 , 2 3 ,   - 1 3

Passo 6

Agora vamos trabalhar com a segunda opção que achamos lá no passo 4:

z + 1 - x - y = 0

Isolando o z , temos

z = x + y - 1

Substituindo isso na restrição do plano

x + y + x + y - 1 = 1

2 x + 2 y = 2

x + y = 1

y = 1 - x

Assim

z = x + y - 1 = 1 - 1 = 0

Substituindo z = 0 e y = 1 - x na restrição da esfera

x 2 + ( 1 - x ) 2 + 0 2 = 1

x 2 + 1 - 2 x + x 2 = 1

2 x 2 - 2 x = 0

2 x x - 1 = 0

Assim

x = 0

Ou

x = 1

Passo 7

Então, como estávamos partindo do pressuposto que z = 0 e y = 1 - x , temos

y = 1 - 0 = 1

E

z = 0

Ou

y = 1 - 1 = 0

z = 0

Temos então mais dois candidatos:

P 3 = ( 0,1 , 0 )

P 4 = 1 , 0 ,   0

Passo 8

UFA! Finalmente agora que temos os pontos, podemos ver seus valores correspondentes para f e definir quais são máximo e quais são mínimos! Lembrando que

f x , y , z = x y + z

Colocando o ponto P 1 = ( 0,0 , 1 ) , teremos:

f 0,0 , 1 = 1

Colocando o ponto P 2 = 2 3 , 2 3 ,   - 1 3 , teremos:

f 2 3 , 2 3 ,   - 1 3 = 1 9

Colocando o ponto P 3 = ( 0,1 , 0 ) , teremos:

f 0,1 , 0 = 0

Colocando o ponto P 4 = 1,0 ,   0 , teremos:

f 1,0 , 0 = 0

E com isso, temos que 0,0 , 1 é ponto de máximo, enquanto 0,1 , 0 e ( 1,0 , 0 ) são pontos de mínimo.

Resposta

0,0 , 1 é ponto de máximo, e 0,1 , 0 e ( 1,0 , 0 ) são pontos de mínimo.

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