Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Multiplicadores de Lagrange

Seja f x , y , z = x 2 - 4 y 2 + 2 z ² . Obtenha os valores máximo e mínimo de f no compacto K = { x , y , z ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + 2 z ² ≤ 4 e z = x + y - 2 }

Passo 1

Essa é uma questão bem trabalhosa, mas vamo que vamo!

A primeira coisa que podemos notar é que o problema tem solução, pelo teorema de Weierstrass, pois f é contínua e K é compacto. Esse teorema é só um nome chique pra dizer que uma função limitada e contínua tem um máximo e um mínimo :)

Num primeiro momento, vamos ignorar a inequação e nos focar na equação, assim vamos possivelmente cair num problema de multiplicadores de Lagrange com duas restrições. Depois a gente se preocupa com a inequação. Por enquanto vamos procurar os máximos e mínimos de f em:

x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4 z = x + y - 2 ⇔   x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 = 0 x + y - z - 2 = 0

É bom sempre nomear as coisas pra facilitar o nosso trabalho e também ficar mais claro pro corretor na hora da prova. Então vamos chamar o lado esquerdo da primeira equação de g ( x , y , z ) e o lado esquerdo da segunda equação de h ( x , y , z ) :

g x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 h x , y , z = x + y - z - 2

Assim vamos ter as restrições típicas de Lagrange: g x , y , z = 0 e h x , y , z = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular os gradientes de g e de h : se eles não forem paralelos, ou seja se o produto vetorial deles não der 0, então vamos poder aplicar a fórmula de Lagrange.

Esses gradientes são tranquilos de calcular para craques de derivação parcial como nós:

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 4 z

∇ h x , y , z = ( 1,1 , - 1 )

Agora poderíamos calcular o produto vetorial dos gradientes e verificar que não dá 0, mas uma outra boa forma de proceder é assumir que os gradientes são paralelos:

∇ g x , y , z = k ∇ h x , y , z   ; k ∈ R

2 x , 2 y , 4 z = k ( 1,1 , - 1 )

O que dá no sistema:

2 x = k 2 y = k 4 z = - k ⇔   x = y = - 2 z

Agora que achamos uma relação entre x , y e z , podemos jogar esses valores na expressão de g ou h . Como a função h é mais simples, vamos usá-la:

h x , y , z = x + y - z - 2

h x , y , z = - 2 z - 2 z - z - 2 = 0

- 5 z = 2

⇒ z = - 2 5

E como x = y = - 2 z vamos ter:

x = y = 4 5

Vamos testar esses valores na equação da função g e ver se verificamos ou não a nossa hipótese que os gradientes são paralelos:

g x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 = 0

4 5 2 + 4 5 2 + 2 - 2 5 2 - 4 = 0

16 + 16 + 2 * 4 25 = 4

Maaas, essa equação está claramente errada:

40 25 ≠ 4

Atenção, estávamos apenas testando os valores, essas equações todas estavam erradas! Enfim, pelo menos podemos concluir que os gradientes de g e h não são paralelos e que o produto vetorial deles não dá 0 :

∇ g x , y , z ≠ k ∇ h ( x , y , z )

∇ g x , y , z × ∇ h x , y , z ≠ ( 0,0 , 0 )

Logo, se o ponto ( x , y , z ) ∈ R ³ for um ponto de máximo ou mínimo local de f , vamos ter, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, que o gradiente de f é uma combinação linear dos gradientes de g e de h .

Vamos dar uma olhada melhor nisso no próximo passo!

Passo 3

O nosso sistema de Lagrange fica assim:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z   ; λ , μ ∈ R   x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 = 0 x + y - z - 2

Na verdade ainda nem calculamos o gradiente da f , então vamos lá:

f x , y , z = x 2 - 4 y 2 + 2 z ²

∇ f x , y , z = ( 2 x , - 8 y , 4 z )

Olha como vai ficar o sistema:

2 x , - 8 y , 4 z = λ 2 x , 2 y , 4 z + μ 1,1 , - 1 x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 = 0 x + y - z - 2 = 0

A primeira equação desse sistema na verdade é composta de 3 equações. Então pra deixar como sendo só uma podemos usar o seguinte macete:

  • Botar os gradientes de f ,   g e h nas linhas de uma matriz 3x3
  • Calcular o determinante da matriz
  • Igualar o determinante a zero

Então vamos criar a matriz A :

A = 2 x - 8 y 4 z 2 x 2 y 4 z 1 1 - 1

Já que vamos igualar o determinante a zero, podemos dividir as duas primeiras linhas por 2 pra simplificar. Podemos fazer isso porque multiplicando uma linha por um escalar multiplicamos também o determinante por esse escalar. E já que vai dar zero mesmo podemos multiplicar as linhas por o que queremos que não vai alterar o resultado. A matriz A vai ficar assim:

A = x - 4 y 2 z x y 2 z 1 1 - 1

Bem, agora é arregaçar as mangas e partir pras contas! Vamos aplicar a regra de Sarrus. A matriz expandida é:

Na diagonal principal temos:

D p = x y - 1 + - 4 y 2 z 1 + 2 z x 1 = - x y - 8 y z + 2 z x

Diagonal secundária:

D s = 2 z y + 2 z x + 4 x y

Logo:

det ⁡ A = D p - D s = - x y - 8 y z + 2 z x - 2 z y - 2 z x - 4 x y

det ⁡ A = - 5 x y - 10 z y = - 5 y x + 2 z

Agora igualamos a zero e podemos aproveitar pra multiplicar por -1 para não lidar com sinais negativos:

⇒ 5 y x + 2 z = 0

Passo 4

Firmeza, agora nosso sistema ficou assim:

5 y x + 2 z = 0           ( 1 ) x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 = 0           ( 2 ) x + y - z - 2 = 0           ( 3 )

A partir da equação (1), vamos analisar as possíveis opções decorrentes, usando as outras equações do sistema, demorô?

5 y x + 2 z = 0   ⇒ y = 0 ou x = - 2 z

Opção 1: y = 0

A equação (2) nos dá:

x 2 + 2 z 2 - 4 = 0

E a equação (3):

x - z - 2 = 0

⇒ x = z + 2

Voltando pra (2):

z + 2 2 + 2 z 2 - 4 = 0

z 2 + 4 z + 4 + 2 z 2 - 4 = 0

3 z 2 + 4 z = 0

z 3 z + 4 = 0

Opção 2: x = - 2 z

Aplicando na equação (3):

- 2 z + y - z - 2 = 0

y = 3 z + 2

Na equação (2) isso vai dar:

- 2 z 2 + 3 z + 2 2 + 2 z 2 - 4 = 0

4 z 2 + 9 z 2 + 12 z + 4 + 2 z 2 - 4 = 0

15 z 2 + 12 z = 0

z 15 z + 12 = 0

Portanto, achamos 4 pontos candidatos a máximo ou mínimo de f no compacto K :

2,0 , 0   ; 2 3 , 0 , - 4 3   ; 0,2 , 0   ; 8 5 , - 2 5 , - 4 5

Passo 5

Maas, infelizmente todas essas contas que fizemos foram sem considerar a inequação do enunciado (lembra?), ou seja até agora só consideramos a “borda” do compacto K .

Já usamos a condição

x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4

Agora vamos ter:

x 2 + y 2 + 2 z 2 < 4

Assim, juntando os dois casos, vamos ter respeitado a condição do enunciado:

x 2 + y 2 + 2 z 2 ≤ 4

Vamos manter a outra condição

h x , y , z = x + y - z - 2 = 0

Teremos que usar de novo Lagrange (pois é!) com a restrição h x , y , z = 0 ; mas só podemos selecionar os candidatos que respeitem a inequação aí de cima.

∇ f x , y , z = λ ∇ h ( x , y , z )

O gradiente da f nós sabemos que é ( 2 x , - 8 y , 4 z ) ; e o da h é ( 1,1 , - 1 ) . O nosso sistema vai ficar assim:

2 x , - 8 y , 4 z = λ 1,1 , - 1         ( 1 ) x 2 + y 2 + 2 z 2 < 4           ( 2 ) x + y - z - 2 = 0           ( 3 )

Da equação (1) tiramos:

2 x = λ = - 8 y = - 4 z

x = - 4 y = - 2 z

z = 2 y

Aplicando isso na equação (3):

- 4 y + y - 2 y - 2 = 0

- 5 y = 2

y = - 2 5

x = - 4 y = 8 5

z = 2 y = - 4 5

Opa! Achamos o ponto 8 5 , - 2 5 , - 4 5 , que a gente viu logo antes!

Então essas contas não agregaram nada novo ao que a gente já sabia...mas elas eram necessárias.

Passo 6

Enfim, estamos quase acabando! Resta só determinar quais são os pontos de máximo e mínimo, dentre os nossos candidatos. Pra isso vamos calcular o valor da função em cada um desses pontos:

2,0 , 0   ; 2 3 , 0 , - 4 3   ; 0,2 , 0   ; 8 5 , - 2 5 , - 4 5

Portanto, o valor máximo de f no compacto K é 4 , nos pontos ( 2,0 , 0 ) e 2 3 , 0 , - 4 3 . O valor mínimo é - 16 , atingido no ponto ( 0,2 , 0 ) .

Resposta

Valor máximo: 4 ; nos pontos 2,0 , 0 e 2 3 , 0 , - 4 3 .

Valor mínimo: - 16   ; no ponto 0,2 , 0 .

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