Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Seja

C = x , y , z ∈ R 3   : x y z = 1     e     x 2 + y 2 = 4

Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de C mais próximos da origem.

Passo 1

A função a ser minimizada é o a distância de um ponto até a origem, ou seja:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Jogada de mestre: minimizar a função distância, é equivalente a minimizar o quadrado da função distância, isto é:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Basta minimizar essa função para pontos restritos as duas equações que definem C :

G x , y , z = x y z - 1

H x , y , z = x 2 + y 2 - 4

Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, e chamamos a primeira de G x , y , z e a segunda de H x , y , z , o método dos multiplicadores de LaGrange fia:

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

Passo 2

Vamos ao cálculo dos gradientes.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

G x , y , z = x y z - 1

∇ G x , y , z = y z ,   x z ,   x y

H x , y , z = x 2 + y 2 - 4

∇ H x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Passo 3

Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:

2 x , 2 y , 2 z = λ y z ,   x z ,   x y + μ 2 x , 2 y , 0

Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:

2 x = λ y z + 2 x μ     1 2 y = λ x z + 2 y μ     2 2 z = λ x y + 0 x y z = 1     4 x 2 + y 2 = 4     5     3

Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!

Passo 4

Da primeira equação:

2 x 1 - μ = λ y z

x = λ y z 2 1 - μ

Da segunda equação:

2 y 1 - μ = λ x z

y = λ x z 2 1 - μ

Assim,

x y = λ y z 2 1 - μ λ x z 2 1 - μ = λ y z 2 1 - μ ∙ 2 1 - μ λ x z = y x

y 2 = x 2

y = ± x

Substituindo isso na ultima equação:

x 2 + ± x 2 = 4

2 x 2 = 4

x 2 = 2

x = ± 2

Logo,

y = ± 2

Colocando esses resultados na equação ( 4 ) conseguimos descobrir também o valor de z .

± 2 - 2 z = 1

z = ± 1

Atenção! ± porque como y = ± x devemos considerer todas as combinações possiveis de sinais para os pontos. Assim podemos ter um caso com x positive e y negativo e vice versa, beleza?

Passo 5

Portanto, temos os pontos:

P 1 = 2 , 2 , 1 2

P 2 = - 2 , - 2 , 1 2

P 3 = - 2 , 2 , - 1 2

P 4 = 2 , - 2 , - 1 2

Como estamos buscando apenas pontos de mínimo e todos esses pontos se encontram no interior de uma bola centrada na origem que contém C (ou seja, C é compacto) eles são, de fato, pontos de mínimo.

Resposta

P 1 = 2 , 2 , 1 2

P 2 = - 2 , - 2 , 1 2

P 3 = - 2 , 2 , - 1 2

P 4 = 2 , - 2 , - 1 2

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