Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Determine a menor e a maior distancia entre a origem e o compacto

C = x , y , z ∈ R 3   ; x + y + z = 1   e   z = 1 - x 2 - y 2  

Passo 1

Vamos lá, queremos encontrar o máximo e o mínimo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em R 3 pode ser dada por:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

E essa função distancia está restrita ao compacto C , que possui duas restrições. Assim, vamos usar a técnica dos Multiplicadores de Lagrange com duas restrições.

Mas antes, só uma dica: essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Além disso, como estamos buscando o máximo e mínimo da função no compacto C , o teorema de Weierstrass nos garante a existência desses pontos nno compacto.

Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de G x , y , z e a segunda de H x , y , z . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ao cálculo desses vetores gradientes então.

Começando pela função D , que já sabemos certinho quem é:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Assim,

∇ D x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Agora vamos para a função G . Para defini-la, vamos pegar tudo da equação da primeira restrição, jogar para a esquerda e chamar de G ( x , y , z ) :

x + y + z = 1

G x , y , z = x + y + z - 1

Assim, seu gradiente fica:

∇ G x , y , z = 1,1 , 1

Por fim, para definir nossa função H , vamos fazer a mesma coisa, só que com a equação da segunda restrição:

z = 1 - x 2 - y 2

H x , y , z = x 2 + y 2 + z - 1

Assim, o gradiente fica

∇ H x , y , z = 2 x , 2 y , 1

Passo 3

Agora que já temos todos os gradientes calculados, vamos montar a equação dos multiplicadores de lagrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,1 , 1 + μ H 2 x , 2 y , 1

Ficamos com o sistema:

2 x = λ 1 + μ 2 x 2 y = λ ( 1 ) + μ 2 y 2 z = λ 1 + μ ( 1 ) x + y + z = 1     z = 1 - x 2 - y 2      

Passo 4

Para começar a resolver essa bagaça, vamos fazer a primeira equação menos a segunda:

2 x - 2 y = λ + 2 x μ - ( λ + 2 y μ )

x - y = μ ( x - y )

Daí, temos duas situações. A primeira delas é x - y = 0 e a segunda é x - y ≠ 0 .

Vamos analisar as duas.

Começando pela primeira:

x - y = 0 → x = y

Substituindo isso na quarta e na quinta equação do sistema, ficamos com:

x + y + z = 1 → 2 x + z = 1

z = 1 - x 2 - y 2 →     z = 1 - 2 x 2

Substituindo a segunda na primeira:

2 x + 1 - 2 x 2 = 1

x = x 2

Assim

x = 0

Ou

x = 1

Como y = x , temos também que

y = 0

Ou

y = 1

E, como   z = 1 - 2 x 2 , temos

z = 1 - 2 . 0 2 = 1

Ou

z = 1 - 2 . 1 2 = - 1

Dessa forma, temos dois pontos

P 1 = 0,0 , 1

P 2 = ( 1,1 , - 1 )

Passo 5

Show, mas esses dois pontos a gente obteve analisando aquele primeiro caso. Ainda falta o segundo caso, que é o caso

x - y ≠ 0 → x ≠ y

Levando isso em consideração, a gente pode cortar o termo ( x - y ) naquela equação que a gente encontrou:

x - y = μ ( x - y )

Que, convenhamos, era o que nossa mão tava coçando pra fazer desde o inicio, né? Rsrs mas a gente não podia simplesmente fazer isso sem analisar o outro caso.

Mas enfim, agora a gente pode e, cortando, obtemos que

μ = 1

Daí, substituindo isso na primeira ou na segunda equação do sistema (vamos escolher a primeira por motivos de: me deu vontade):

2 x = λ 1 + μ 2 x

2 x = λ + 2 x

λ = 0

Com isso, da terceira equação do sistema

2 z = λ 1 + μ ( 1 )

Tiramos que

2 z = 0 + 1

z = 1 2

Passo 6

Substituindo isso na quarta e na quinta equação do sistema:

x + y + z = 1

  z = 1 - x 2 - y 2

Ficamos com

x + y + 1 2 = 1 → x + y = 1 2

1 2 = 1 - x 2 - y 2 → x 2 + y 2 = 1 2

Isolando o y na primeira equação:

y = 1 2 - x

E substituindo na segunda equação:

x 2 + 1 2 - x 2 = 1 2

Chegamos na equação de segundo grau:

2 x 2 - x - 1 4 = 0

Que resolvendo por Báskhara fica:

x = + 1 ± - 1 2 - 4.2 . - 1 4 2.2

Logo

x = 1 + 3 4

Ou

x = 1 - 3 4

E, como y = 1 2 - x

y = 1 2 - 1 + 3 4 = 1 - 3 4

Ou

y = 1 2 - 1 - 3 4 = 1 + 3 4

E z a gente já sabe que

z = 1 2

Dessa forma, temos mais dois pontos

P 3 = 1 + 3 4 , 1 - 3 4 , 1 2

P 4 = 1 - 3 4 , 1 + 3 4 , 1 2

Passo 7

Alô alô graças a Deus, agora é só a gente substituir esses pontos na função e vê quem é o máximo e quem é o mínimo.

D P 1 = D 0,0 , 1 = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1

D P 2 = D 1,1 , - 1 = 1 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 3

D P 3 = D 1 + 3 4 , 1 - 3 4 , 1 2 = 1 + 3 4 2 + 1 - 3 4 2 + 1 2 2 = 3 4

D P 4 = D 1 - 3 4 , 1 + 3 4 , 1 2 = 1 - 3 4 2 + 1 + 3 4 2 + 1 2 2 = 3 4

Assim, P 2 = ( 1,1 , - 1 )

É o ponto de C com maior distancia a origem e

P 3 = 1 + 3 4 , 1 - 3 4 , 1 2

E

P 4 = 1 - 3 4 , 1 + 3 4 , 1 2

São os pontos de C com menor distancia a origem.

Resposta

P 2 = ( 1,1 , - 1 )

É o ponto de C com maior distancia a origem e

P 3 = 1 + 3 4 , 1 - 3 4 , 1 2

E

P 4 = 1 - 3 4 , 1 + 3 4 , 1 2

São os pontos de C com menor distancia a origem.

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