Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Ver Teoria

Enunciado

A interseção entre plano x + y + 2 z = 3 e cone z 2 = 2 x 2 + 2 y 2 é uma elipse C .

a) Esboce o cone, o plano e a elipse.

b) Determine os pontos na elipse C que estejam mais próximo e mais distante da origem.

Dica: use a fórmula da distância no espaço com três dimensões. Para facilitar as contas, você pode elevar esta fórmula ao quadrado (explique o porquê).

Passo 1

a) Vamos começar pelo cone! Como os termos ao quadrado são só as variáveis sozinhas z 2 , x 2 , y 2 , a gente pode dizer que o centro do nosso cone é a origem, o ponto 0,0 , 0 .

E como os termos ao quadrado x e y estão mutltiplicado por 2 , nosso cone vai ser um pouco mais fechado que o cone z 2 = x 2 + y 2 , por exemplo. Ele fica assim

Agora para desenhar o plano x + y + 2 z = 3 , vamos achar onde ele corta os eixos coordenados. Aí a gente desenha um plano que passa por esses 3 pontos.

O ponto que passa pelo eixo x , tem z = y = 0 . Substituindo na equação

x + y + 2 z = 3 ∴ x = 3

Fazendo algo parecido para os outros eixos

e i x o   y → x = z = 0 ∴ y = 3

e i x o   z → y = x = 0 ∴ z = 3 2

Aí a gente precisa esboçar um plano que passa pelos pontos 3,0 , 0 , 0,3 , 0 e 0,0 , 3 2 . Ele fica assim:

E para desenhar a elipse, a gente faz essas duas superfícies no mesmo espaço e marca a interseção entre elas:

Ali a gente achar uma elipse no espaço 3D, como o enunciado diz! Arrasamos nessa!

Passo 2

b) A fórmula da distância entre a origem e um ponto no espaço tridimensional é

d = x 2 + y 2 + z 2

A gente quer a máxima e a mínima distância. Então queremos maximizar e minimizar d . Mas ele disse que para faciitar as contas, a gente pode usar d 2 . E por que? Essa é a d 2 :

d 2 = f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Uma função com raiz quadrada é muito mais dificil de derivar. E a gente precisa fazer calcular derivadas para achar o máximo e mínimo de uma função.

E a gente pode fazer essa mudança porque a função d e a função d 2 tem os mesmos pontos de máximo e de mínimo. Então podemos usar qualquer uma delas, beleza?

Então vamos maximizar e minimizar a função

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Cara, mas quem são esses valores de x , y , z para gente? São os pontos que estão dentro da elipse, né? E quem é a elipse? A interseção entre o plano x + y + 2 z = 3 e cone z 2 = 2 x 2 + 2 y 2 .

Os pontos da elipse pertencem ao mesmo tempo a essas duas superfícies. Ou seja, nossos x , y , z precisam satisfazer essas duas equações.

Percebe o que a gente tem aqui? Temos que maximizar uma função f x , y , z , mas x , y , z estão restringidos a duas equações. Isso quer dizer que temos que usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições!

Nossas restrições são

x + y + 2 z = 3

z 2 = 2 x 2 + 2 y 2

A gente faz essas mudanças nas equações que são nossas restrições: joga todas as variáveis para um lado e chama o lado das variáveis de uma função nova:

x + y + 2 z - 3 = 0 ∴ g x , y , z = x + y + 2 z - 3

0 = - z 2 + 2 x 2 + 2 y 2 ∴ h x , y , z = - z 2 + 2 x 2 + 2 y 2

E agora é montar a fórmulinha

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Por ela a gente acha os nossos pontos. Vem comigo!

Passo 4

Vamos calcular os gradientes de cada função

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

f x = 2 x ,     f y = 2 y ,     f z = 2 z

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

g x , y , z = x + y + 2 z - 3

∇ g x , y , z = 1,1 , 2

h x , y , z = - z 2 + 2 x 2 + 2 y 2

∇ h x , y , z = 4 x , 4 y , - 2 z

Aí a nossa fórmulinha fica

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,1 , 2 + μ 4 x , 4 y , - 2 z

Daí tiramos as equações

2 x = λ + 4 x μ ,     2 y = λ + 4 y μ ,     2 z = 2 λ - 2 z μ

Agora a gente monta um sisteminha com essas equações e as equações que são nossas restrições. Fica assim:

2 x = λ + 4 x μ 2 y = λ + 4 y μ 2 z = 2 λ - 2 z μ x + y + 2 z = 3 z 2 = 2 x 2 + 2 y 2

Partiu resolver esse cara na coragem! Segura na minha mão e vem!

Passo 5

Vamos dividir os dois lados da terceira equação por 2 , só para ficar fofo:

2 x = λ + 4 x μ 2 y = λ + 4 y μ z = λ - z μ x + y + 2 z = 3 z 2 = 2 x 2 + 2 y 2

As duas primeiras equações têm um termo em comum, vamos isolar esse termo nelas

2 x = λ + 4 x μ ∴ λ = 2 x - 4 x μ

2 y = λ + 4 y μ ∴ λ = 2 y - 4 y μ

Igualando essas duas coisinhas

2 x - 4 x μ = 2 y - 4 y μ ∴ 2 x 1 - 2 μ = 2 y 1 - 2 μ

Agora calma: dá para cortar esse termo 1 - 2 μ dos dois lados né? Mas antes, a gente precisa avaliar a situação onde esse termo zera, porque isso também satisfaria nossa equação. Fica assim

1 - 2 μ = 0 ∴ μ = 1 2

Aí sim, a gente pode voltar para aquela equação e cortar esse termo

2 x 1 - 2 μ = 2 y 1 - 2 μ ∴ 2 x = 2 y ∴ x = y

Ficamos então com duas situações para avaliar: μ = 1 / 2 ou x = y .

Passo 6

Vamos começar avaliando o caso em que μ = 1 / 2 .  

2 x = λ + 4 x μ 2 y = λ + 4 y μ z = λ - z μ x + y + 2 z = 3 z 2 = 2 x 2 + 2 y 2

Substituindo na primeira equação

2 x = λ + 4 x 1 2 ∴ 2 x = λ + 2 x ∴ λ = 0

Substituindo λ = 0 e μ = 1 / 2 na terceira

z = - z 2 ∴ 3 2 z = 0 ∴ z = 0

E substituindo z = 0 na quarta equação

0 = 2 x 2 + 2 y 2

O único ponto que satisfaz essa equação é x = y = 0 , porque temos uma soma de termos positivos dando zero. Então a gente achou o ponto x , y , z = 0,0 , 0 . Mas repara que se a gente o substituir na equação do plano

x + y + 2 z = 3 ∴ 0 = 3 → f a l s o

Ele não satisfaz a equação do plano. Então esse ponto não serve para a gente, tá?

Passo 7

Mas calma, ainda tem o caso x = y . Tenha esperança!

2 x = λ + 4 x μ 2 y = λ + 4 y μ z = λ - z μ x + y + 2 z = 3 z 2 = 2 x 2 + 2 y 2

Substituindo y = x na última equação

z 2 = 2 x 2 + 2 x 2 ∴ z 2 = 4 x 2 ∴ z = ± 2 x

Aparece esse ± porque tiramos a raiz ali. Aí agora se abriram dois caminhos:

- Substituindo z = 2 x e y = x na equação do plano

x + y + 2 z = 3 ∴ x + x + 4 x = 3 ∴ x = 1 2

Daí a gente tira que

y = x = 1 2 ,     z = 2 x = 2 1 2 = 1

Temos então o ponto 1 2 , 1 2 , 1 .

- Substituindo z = - 2 x e y = x na equação do plano

x + y + 2 z = 3 ∴ x + x - 4 x = 3 ∴ x = - 3 2

Daí a gente tira que

y = x = - 3 2 ,     z = - 2 x = - 2 - 3 2 = 3

Temos então o ponto - 3 2 , - 3 2 , 3 .

Passo 8

Agora a gente substitui nossos candidatos na função que queremos maximizar e minimizar para ver quem vai ser o ponto de distância máxima e o ponto de distância mínima.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Para o ponto 1 2 , 1 2 , 1 :

f 1 2 , 1 2 , 1 = 1 2 2 + 1 2 2 + 1 2 = 3 2

Para o ponto - 3 2 , - 3 2 , 3 :

f - 3 2 , - 3 2 , 3 = - 3 2 2 + - 3 2 2 + 3 2 = 27 2

Como f - 3 2 , - 3 2 , 3 > f 1 2 , 1 2 , 1 , o nosso ponto de máximo é - 3 2 , - 3 2 , 3 , e esse é o ponto da elipse mais distante da origem.

E o nosso ponto de mínimo é 1 2 , 1 2 , 1 , e ele vai ser o ponto da nossa elipse que tem a menor distância em relação à origem.

Resposta

Ponto mais próximo da origem: 1 2 , 1 2 , 1

Ponto mais distante da origem: - 3 2 , - 3 2 , 3

Exercícios de Livros Relacionados

9. A janela de uma sala tem a forma de um retângulo com um triangulo isósceles no topo . Se o perímetro da janela é 12 m e esta deve coletar a maior a quantidade de energia possivel, mostre que o ângu
12. a) A função f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2 Onde x0 ,y0,z0 e a é uma constante positiva. Encontre-ob) Usan
11. Encontre o mínimo de f x , y , z = x + y + z na superfície de equação x y z = k Onde x0,y0,z0 Use o resultado para mostrar que x y z 1 / 3 ≤ 1 3 x + y + z x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0
12. a) A função f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2 Onde x0 ,y0,z0 e a é uma constante positiva. Encontre-ob) Usan
10. Determine a equação do plano que passa por 1,2 , 1 e determina com os planos coordenadas um tetraedro de volume maximo