Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de LaGrange

Seja C = x , y , z ∈ R 3 : x - z 2 + y - z 2 = 8   e   x + y + z = 2 . Sabendo que C é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de C que estão mais próximos e mais distantes de 0,0 , 0 .

Passo 1

Vamos lá, queremos encontrar o máximo e o mínimo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em R 3 pode ser dada por:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto e o quão longe eu posso estar da origem 0,0 , 0 ? Não faria sentido, né? Porque o mais longe tenderia a infinito, enquanto o mais perto, tenderia a uma distância nula!

Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar tanto na superfície x - z 2 + y - z 2 = 8 como no plano x + y + z = 2 ! Assim, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de LaGrange, pois temos uma função que deve ser maximizada/minimizada, dentro dessas duas restrições!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de começar propriamente a montar a equação dos multiplicadores, vem uma dica que você vai querer guardar: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de G x , y , z e a segunda de H x , y , z . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

Passo 3

Chegou a hora de calcular as derivadas propriamente ditas! Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função D :

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

D x = 2 x

D y = 2 y

D z = 2 z

∇ D x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Como o método dos multiplicadores de LaGrange envolve apenas a direção dos vetores, podemos usar o vetor x , y , z ao invés de 2 x , 2 y , 2 z !

Agora, calculando as derivadas parciais de G x , y , z ,

G x , y , z = x - z 2 + y - z 2 - 8  

G x = 2 x - z . 1

G y = 2 y - z . 1

G z = 2 x - z . - 1 + 2 y - z . - 1

∇ G x , y , z = 2 x - 2 z , 2 y - 2 z , - 2 x - 2 y + 4 z

Novamente, como só importa a direção, podemos dividir esse vetor gradiente ∇ G por 2 ! Assim, não teremos mais esses coeficientes, todos iguais, tirando o último do z ;) Usaremos, então, o vetor x - z , y - z , - x - y + 2 z

E, enfim, as derivadas de H x , y , z ,

H x , y , z = x + y + z - 2

H x = 1

H y = 1

H z = 1

∇ H x , y , z = 1,1 , 1

Passo 4

Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:

x , y , z = λ x - z , y - z , - x - y + 2 z + μ 1,1 , 1

Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:

x = λ x - z + μ     1 y = λ y - z + μ     2 z = λ - x - y + 2 z + μ x - z 2 + y - z 2 - 8 = 0     4 x + y + z - 2 = 0     5     3

Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!

Se subtraírmos a segunda (contando de cima para baixo) da primeira, teremos:

x - y = λ x - y     6

Viu? Conseguimos eliminar o μ :)

Se subtraírmos a terceira da segunda, teremos:

y - z = λ x + 2 y - 3 z     7

Passo 5

Do primeiro resultado que tiramos,

x - y = λ x - y

Temos que λ = 1 , ou x = y , concorda?

Supondo que λ = 1 , a segunda equação que fizemos 7 , fica assim:

y - z = 1 x + 2 y - 3 z  

x + y - 2 z = 0

Aí agora olhamos para as outras equações que temos, e vemos o que podemos fazer… Veja que, na equação 5 , x + y + z - 2 = 0 , também aparece x + y . Então, subtraíndo a equação 7 com λ = 1 da 5 , temos:

3 z - 2 = 0

z = 2 3

Finalmente!! Conseguimos algum resultado, hein? Suando aqui…

Passo 6

Como temos uma das variáveis, z , com valor definido, e temos duas equações para as restrições, é melhor negocio substituir z = 2 3 nas equações 4 e 5 e encontrar as variáveis x e y :D

Colocando z = 2 3 na equação 5 , temos:

x + y + 2 3 - 2 = 0

x = - y + 4 3  

E, colocando essa relação entre x e y na equação 4 , temos:

- y + 4 3 - 2 3 2 + y - 2 3 2 - 8 = 0

Desenvolvendo a equação...

2 y 2 - 8 y 3 + 8 9 - 8 = 0

2 y 2 - 8 y 3 - 64 9 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

y = 8 3 ± 64 9 - 4.2 . - 64 9 2.2

y = 8 3 ± 576 9 4

y = 8 3 ± 64 4

y = 2 3 ± 2

y = 8 3   o u - 4 3

E aí está! Mais dois possíveis valores para y !

Passo 7

Lembrando que conseguimos esses valores com o z = 2 3 e com a relação x = 4 3 - y . Jogando de volta os valores de y nesse última equação, temos:

x = 4 3 - 8 3 = - 4 3

x = 4 3 - - 4 3 = 8 3

Assim, temos que quando x = - 4 3 , y = 8 3 e vice versa!

Conseguimos, por fim, os seguintes pontos, juntando os respectivos valores de x ,   y e z :

P 0 = - 4 3 , 8 3 , 2 3

P 1 = 8 3 , - 4 3 , 2 3

Passo 8

Acha que terminou?? Não está esquecendo de nada? Qual foi a “premissa” que tomamos para chegar nesses dois pontos? Foi dizer que λ = 1 , lembra!? Agora temos que testar o caso em que x = y !

Mas parece que vai ser um pouco menor, afinal, já temo que x = y , então, quando encontrarmos x , encontramos y !

Colocando x = y na equação 5 , teremos:

x + x + z = 2

z = 2 - 2 x

Colocando x = y na equação 4 , teremos:

x - z 2 + x - z 2 = 8

x - z 2 = 4

Pegando, então, a relação z = 2 - 2 x e jogando nessa última equação,

x - 2 - 2 x 2 = 4

3 x - 2 2 = 4

E daí tiramos que, ou x = 4 3 , ou x = 0 ! Beleza?

Assim, já temos também os valores de y , pois x = y , lembra? E, para descobrir os valores de z , temos a relação:

z = 2 - 2 x

Logo, se x = 0 , z = 2 e, se x = 4 3 , z = - 2 3

Juntando esses valores, temos os pontos:

P 2 = 0,0 , 2

P 3 = 4 3 , 4 3 ,   - 2 3

Passo 9

Agora sim!! Temos tudo o que precisamos, já testamos todos os casos, agora é pegar cada ponto e substituir na equação da função D x , y , z !

Vamos lá! Para o ponto P 0 = - 4 3 , 8 3 , 2 3 , temos

D x , y , z = 16 9 + 64 9 + 4 9 = 84 9

Para o ponto P 1 = 8 3 , - 4 3 , 2 3 , temos:

D x , y , z = 16 9 + 64 9 + 4 9 = 84 9

Para o ponto P 2 = 0,0 , 2 , temos:

D x , y , z = 0 + 0 + 4 = 4

Para o ponto P 3 = 4 3 , 4 3 ,   - 2 3 , temos:

D x , y , z = 16 9 + 16 9 + 4 9 = 4

Assim, os pontos P 1 e P 2 são ponto de máximo, enquanto P 3 e P 4 são ponto de mínimo :)

Resposta

P 0 = - 4 3 , 8 3 , 2 3 e P 0 = 8 3 , - 4 3 , 2 3 são ponto de máximo, e P 2 = 0,0 , 2 e P 3 = 4 3 , 4 3 ,   - 2 3 são ponto de mínimo.

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