Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Cálculo 2 USP, PSUB 2014, questão 4

Considere a função f x , y , z = x - 2 y + z 2 e a região R = x , y , z R 3 : x - 2 y + 2 z = 0   e   2 x 2 + y 2 + z 2 = 9 . A função f tem pontos de máximo e mínimo na região R ? Caso afirmativo, encontre-os.

Passo 1

Função com restrição? Máximos e mínimos? Manda Lagrange!

A região de restrição tem duas funções, h x , y , z = x - 2 y + 2 z   e g x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9 , então vamos usar o determinante de 3 × 3 :

f x f y f z h x h y h z g x g y g z = 0

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Passo 2

Próximo passo, encontrar essas derivadas parciais! Vamos começar pela função f ?

f x , y , z = x - 2 y + z 2

f x = 1

f y = - 2

f z = 2 z

Passo 3

Para a função h , temos:

h x , y , z = x - 2 y + 2 z

h x = 1

h y = - 2

h z = 2

Beleza! Vamos ver agora as derivadas da função g !

g x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9

g x = 4 x

g y = 2 y

g z = 2 z

E é isso aí ;)

Passo 4

Vamos colocar os valores das derivadas no determinante. Ele vai ficar:

1 - 2 2 z 1 - 2 2 4 x 2 y 2 z = 0

Desenvolvendo o determinante, teremos:

1 - 2 2 z 1 - 2 2 4 x 2 y 2 z = - 4 z + 4 y z - 16 x + 16 x z - 4 y + 4 z = 0

Ajeitando essa equação, fica:

4 y z - 16 x + 16 x z - 4 y = 0

Podemos dividir tudo por 4 né?

y z - 4 x + 4 x z - y = 0

E, colocando z - 1 em evidência,

z - 1 y + 4 x = 0

E é isso aí, melhor não deve dar pra fazer XD A dica é: sempre, no final, dê um jeito de colocar as coisas como produto! A questão é feita pra isso acontecer, pois facilita muito!

Passo 5

Vamos montar um sistema, então com a equação que acabamos de encontrar e as equações da restrição?

z - 1 y + 4 x = 0 x - 2 y + 2 z = 0 2 x 2 + y 2 + z 2 = 9

Pela primeira equação, temos que, ou z = 1 , ou y = - 4 x , certo? No caso de z = 1 , teremos, na segunda equação,

x - 2 y + 2 = 0

x = 2 y - 2

Colocando esse resultado na terceira equação, colocando z = 1 também, teremos:

2 2 y - 2 2 + y 2 + 1 2 = 9

Abrindo o produto notável, teremos:

2 4 y 2 - 8 y + 4 + y 2 + 1 = 9

Que fica:

9 y 2 - 16 y = 0

E, assim, ou y = 0 , ou y = 16 9 , certo? Como tínhamos que x = 2 y - 2 , então, se y = 0 , x = - 2 , e, se y = 16 9 , x = 14 9 .

Logo, para z = 1 , temos os pontos:

P 0 = - 2,0 , 1

P 1 = 14 9 , 16 9 , 1

Passo 6

Agora podemos testar a segunda hipótese de resolução para o sistema, que é o caso de y = - 4 x . Colocando isso na segunda equação, teremos:

x - 2 - 4 x + 2 z = 0

2 z = - 9 x

z = - 9 2 x

Colocando esse valor na terceira, teremos:

2 x 2 + - 4 x 2 + - 9 2 x 2 = 9

Ajeitando esses quadrados, teremos:

2 x 2 + 16 x 2 + 81 4 x 2 = 9

Juntando o 2 x 2 com o 16 x 2 , temos:

18 x 2 + 81 4 x 2 = 9

Dividindo tudo por 9 , temos:

2 x 2 + 9 4 x 2 = 1

Multiplicando tudo por 4 , temos:

8 x 2 + 9 x 2 = 4

Que é:

17 x 2 = 4

E, assim,

x = ± 17 4 = ± 2 17

Colocando esse valor para x , sabendo que y = - 4 x e   z = - 9 2 x , temos que y = 8 17 e z = 9 17 .

Assim, os pontos que obtivemos são:

P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17

P 3 = - 2 17 ,   8 17 ,   9 17

Passo 7

Agora que já temos todos os pontos candidatos, P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , podemos comparar os valores que f assume em cada um!

Para P 0 = - 2,0 , 1 ,

f - 2,0 , 1 = - 2 - 2.0 + 1 2 = - 1

Para P 1 = 14 9 , 16 9 , 1 ,

f 14 9 , 16 9 , 1 = 14 9 - 2 . 16 9 + 1 2 = - 9 9 = - 1

Para P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 ,

f 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 = 2 17 - 2 . - 8 17 + - 9 17 2 = 18 17 + 81 17

Para P 3 = - 2 17 ,   8 17 ,   9 17 ,

f - 2 17 ,   8 17 ,   9 17 = - 2 17 - 2 . 8 17 + 9 17 2 = - 18 17 + 81 17

Assim, P 0 = - 2,0 , 1 e P 1 = 14 9 , 16 9 , 1 são pontos de mínimo, e P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 é ponto de máximo.

Resposta

P 0 = - 2,0 , 1 e P 1 = 14 9 , 16 9 , 1 são pontos de mínimo, e P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 é ponto de máximo

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