Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f x , y , z = y 2 - x z + 6 y sobre os seguinte conjunto:

R = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36   e   y ≤ 2 }

Passo 1

Bom, se temos uma questão que nos pede os pontos de máximo e mínimo, a primeira coisa a se perguntar é: Existe alguma restrição? Nesse caso, sim, são as superfícies x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36 e y = 2 ! Então, vamos usar os multiplicadores de LaGrange!

Tome cuidado para não pensar o seguinte, na verdade: temos apenas uma restrição, que é   x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36 , e então pegamos os pontos nos quais y < 2 . Isso não está errado, na verdade é basicamente fazer o que fizemos na letra a e escolher os pontos com a coordenada y menor que 2. Mas para pegarmos toda a gama de pontos possíveis, temos que considerar os pontos que tem a coordenada y = 2 , inclusive! Por isso vamos usar LaGrange com duas restrições, sendo uma delas esse plano y = 2 ;)

Chamando de g ( x , y , z ) a superfície   x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36 e de h ( x , y , z ) a superfície y = 2 , as equações que temos são:

f x f y f z g x g y g z h x h y h z = 0 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0 y - 2 = 0

Lembrando que essas derivadas do determinante são as componentes dos vetores gradiente!

∇ f x , y , z = f x , f y , f z

∇ g x , y , z = g x , g y , g z

∇ h x , y , z = h x , h y , h z

Então os passos são só esses, encontrar os vetores gradientes de f , g e h , e resolver o sistema que tá ali em cima :)

Passo 2

Como para resolver o sistema temos que encontrar os vetores gradientes, vamos começar calculando-os!

f x , y , z = y 2 - x z + 6 y

f x = - z

f y = 2 y + 6

f z = - x

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais da primeira restrição:

g x , y , z =   x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36

g x = 2 x

g y = 8 y

g z = 2 z

E da segunda restrição:

h x , y , z = y - 2

h x = 0

h y = 1

h z = 0

Passo 4

E podemos prosseguir colocando os valores das derivadas parciais no determinante do passo 1:

- z 2 y + 6 - x 2 x 8 y 2 z 0 1 0 = 0 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0 y - 2 = 0

E o determinante é:

- z 2 y + 6 - x 2 x 8 y 2 z 0 1 0 = - 2 x 2 + 2 z 2 = 0

Como 2 x 2 = 2 z 2 , temos a seguinte relação:

x = z

Ou seja, temos duas opções, ou x = z , ou x = - z ;)

Passo 5

Beleza, e o que faremos agora? Vamos substituir essa relação na primeira restrição, pois já temos da segunda que y = 2 ! Nesse caso, apenas, quando x e z estão ao quadrado, não precisamos abrir em dois, pois mesmo com sinais diferentes, depois que elevamos ao quadrado eles ficam com valores iguais. Depois que encontrarmos o valor de x , aí sim precisaremos abrir no resto dos casos... Enfim, teremos, na segunda restrição:

x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0

Com y = 2 (segunda restrição) e x 2 = z 2 ,

x 2 + 4 . 2 2 + x 2 - 36

2 x 2 + 16 - 36 = 0

2 x 2 = 20

x = ± 10

Beleza, agora que conseguimos esses dois valores para x , podemos definir os valores que z assume. Lembrando que, para, por exemplo, x = + 10 , z pode ser tanto 10 como - 10 , ao todo termos quatro pontos:

± 10 , 2 , ± 10 ∓ 10 , 2 , ± 10

Passo 6

Ok, mas isso que conseguimos são só os pontos que tem coordenada 2 , obrigatoriamente! E aqueles que estão cercados pela mesma região, mas com coordenadas menores que 2 ? Bom, agora temos aquele caso, de apenas uma restrição, que é   x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0 , e selecionamos os pontos que tem y < 2 !

Mas como era exatamente isso que a letra a pedia, vamos pegar os pontos que conseguimos da letra a cuja coordenada y é menor que 2 . Se você veio pra cá direto, dá um clique ali em cima da barra de exercícios e veja como conseguimos os pontos candidatos a máximo e mínimo para essa questão, item a :

± 4 , - 1 , ± 4 0 , - 3,0

PS: não pegamos o ponto 0,3 , 0 pois só interessa os que tem y < 2 !

E juntando com os pontos que conseguimos agora na letra b , teremos:

± 4 , - 1 , ± 4 0 , - 3,0 ± 10 , 2 , ± 10 ∓ 10 , 2 , ± 10

Ao todo, 7 pontos!

Passo 7

Agora que temos os pontos todos, vamos substituí-los na equação de f , e ver quais são de máximo e quais de mínimo!

f x , y , z = y 2 - x z + 6 y

Para o ponto + 10 , 2 , + 10 , teremos:

f x , y , z = 2 2 - 10 . 10 + 6.2 = 6

Para o ponto - 10 , 2 , - 10 , teremos:

f x , y , z = 2 2 - - 10 . - 10 + 6.2 = 6

Para o ponto + 10 , 2 , - 10 , teremos:

f x , y , z = 2 2 - 10 . - 10 + 6.2 = 26

Para o ponto - 10 , 2 , + 10 , teremos:

f x , y , z = 2 2 - - 10 . 10 + 6.2 = 26

E lembrando que, da letra a ,

Para o ponto 4 , - 1,4 , teremos:

f 4 , - 1,4 = - 1 2 - 4.4 + 6 . - 1 = - 21

Para o ponto - 4 , - 1 , - 4 , teremos:

f - 4 , - 1 , - 4 = - 1 2 - ( - 4 . - 4 ) + 6 . - 1 = - 21

Para o ponto 0 , - 3,0 , teremos:

f 0 , - 3,0 = - 3 2 - 0.0 + 6 . - 3 = - 9

Então, concluímos que f ∓ 10 , 2 , ± 10 = 26 são os pontos de máximo e f ± 4 , - 1 ± 4 = - 21 são os pontos de mínimo ;)

Resposta

f ∓ 10 , 2 , ± 10 = 26 são os pontos de máximo e f ± 4 , - 1 ± 4 = - 21 são os pontos de mínimo

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