Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Determine os valores de máximo e mínimo da função f x , y , z = x z + 2 y em S , em que S = x , y , z ∈ R 3 x 2 + z 2 + x z + y 2 = 25   e   y ≥ 2 . Você pode admitir, sem justificar, que o problema tem solução.

Passo 1

Máximo e mínimo com restrição? Então partiu usar LaGrange! Vamos resolver o sistema para dois casos, como a restrição nos impõe: o primeiro, para y > 2 , e o segundo, para y = 2 .

Para o primeiro, temos que derivar as funções dadas, f e S :

f x , y , z = x z + 2 y

Derivando em relação a cada variável, tratando as outras como constantes:

f x x , y , z = z

f y x , y , z = 2

f z x , y , z = x

E o gradiente ∇ f x , y , z = z , 2 , x

Agora para a S :

x 2 + z 2 + x z + y 2 = 25

S x = 2 x + z

S y = 2 y

S z = 2 z + x

E o gradiente ∇ S x , y , z = 2 x + z , 2 y , 2 z + x !

Passo 2

Show! Agora só precisamos fazer o produto vetorial entre os vetores gradientes e obrigá-los a ser 0 . Assim, teremos o caso onde eles são paralelos, portanto, máximos ou mínimos!

Prosseguindo:

i ^ j ^ k ^ z 2 x 2 x + z 2 y 2 z + x = 4 z + 2 x i ^ + 2 y z k ^ + 2 x 2 + x z j ^ - 4 x + 2 z k ^ - 2 y x i ^ - 2 z 2 + x z j ^

Como o produto deve ser 0 , então:

4 z + 2 x - 2 y x , 2 x 2 + x z   - 2 z 2 + x z , 2 y z - 2 x + z = 0,0 , 0

E teremos o seguinte sistema, com as três coordenadas do vetor do produto e as restrições:

4 z + 2 x = 2 y x 2 x 2 + x z = 2 z 2 + x z 2 y z = 4 x + 2 z x 2 + z 2 + x z + y 2 = 25 y > 2  

Passo 3

Pela segunda equação de cima para baixo, temos que

2 x 2 + x z = 2 z 2 + x z

x 2 = z 2

x = ± z

E, com isso, temos duas opções para o sistema.

A primeira, com x = z , fica:

4 x + 2 x = 2 y x 2 x 2 = 2 x 2 2 y x = 4 x + 2 x x 2 + x 2 + x . x + y 2 = 25 y > 2  

6 x = 2 y x x = x 2 y x = 6 x 3 x 2 + y 2 = 25 y > 2  

Vemos que a primeira e a terceira deram a mesma coisa, 6 x = 2 x y . Dessas equações, temos mais duas opções de resposta, que atendem ao resto do sistema, que são x = 0 , então temoz z = 0 pois adotamos x = z , e para encontrar y , jogamos esse valor de x na quarta equação:

3 x 2 + y 2 = 25

y 2 = 25

y = ± 5

Como y > 2 , pelo início das condições, então teríamos o ponto P 0 = 0,5 , 0

Passo 4

E se tivéssemos escolhido x ≠ 0 ? Então teríamos que fazer um sistema entre a primeira e a quarta equações:

6 x = 2 x y 3 x 2 + y 2 = 25

Cortando o x na primeira, teremos

6 = 2 y

y = 3

E, colocando esse valor na segunda, teremos:

3 x 2 + 3 2 = 25

x 2 = 16 3 = ± 4 3 3

Como adotamos x = z nesse percurso, e como 3 atende a restrição y > 2 , temos mais dois pontos:

P 1 = 4 3 3 , 3 , 4 3 3

P 2 = - 4 3 3 , 3 , - 4 3 3

Passo 5

Show! Já descobrimos 3 pontos ;) Agora temos que considerar o caso se x = - z , lembra? Supondo isso, teremos, para o sistema:

- 4 x + 2 x = 2 y x 2 x 2 = 2 - x 2 2 y . - x = 4 x + 2 . - x x 2 + - x 2 + x . - x + y 2 = 25 y > 2  

- 2 x = 2 y x x = x - 2 y x = 2 x x 2 + y 2 = 25 y > 2  

Exatamente como antes, podemos considerar x = 0   como solução do sistema, tendo que, pela quarta equação:

0 2 + y 2 = 25

y = 5

E repetimos o ponto P 0 = 0,5 , 0 , pois, mesmo dessa vez x = - z , como x = 0 , z = 0 também!

Vamos considerar agora x ≠ 0 . Na primeira equação, teríamos:

- 2 x = 2 x y

y = - 1  

Mas y > 2 , pela restrição! Então, nesse caso, considerando x ≠ 0 , não temos solução, e nenhum ponto novo.

Ae ficamos com aqueles três pontos que já tínhamos encontrado ;)

Passo 6

A esta altura, eu também já tinha esquecido que a restrição laaa em cima, do enunciado também incluía y = 2 . Uma pena XD Mas vamos lá! Já temos os pontos candidatos para y > 2 , e para y = 2 ? Bom, se você está pensando o mesmo que eu, é uma ótima ideia tacar esse valor de y nas equações e ver no que dá:

Para f , temos:

f x , 2 , z = x z + 2.2

f x , 2 , z = x z + 4

E em S , teremos:

x 2 + z 2 + x z + 2 2 = 25

x 2 + z 2 + x z = 21

Passo 7

Se chamarmos a equação f x , 2 , z , que tem 2 constante, de h x , z , uma função de duas variáveis, seu vetor gradiente será:

∇ h x , z = h x , h z

Calculando as derivadas parciais em relação a x e z de h x , z , temos:

h x = z

h z = x

E o vetor gradiente fica:

∇ h x , z = z , x

Passo 8

Agora temos que encontrar o vetor gradiente de S x , 2 , z . Se chamarmos essa função (que, com y constante, se tornou função de duas variáveis) de J x , z , teremos que seu gradiente é:

∇ J x , z = J x , J z

Calculando as derivadas parciais em relação a x e z de h x , z , temos:

J x = 2 x + z

J z = 2 z + x

E o vetor gradiente fica:

∇ J x , z = 2 x + z , 2 z + x

Passo 9

Perfeito! Agora só temos que fazer o produto vetorial entre os vetores gradientes e ver quais são os pontos que o torna igual a 0 , pois são paralelos!

∇ J × ∇ h = z x 2 x + z 2 z + x = 0

z x 2 x + z 2 z + x = 2 z 2 + x z - 2 x 2 - x z

Logo,

2 z 2 - 2 x 2 = 0

x = ± z

Show!! Bem menor do que o determinante de três variáveis né? Como a restrição agora é x 2 + z 2 + x z = 21 , temos que resolver o seguinte sistema:

x 2 = z 2 x 2 + z 2 + x z = 21

Tomando x = z , na segunda equação teremos:

3 x 2 = 21

x = ± 7

E temos dois pontos, P 3 = 7 , 2 , 7 e P 4 = - 7 , 2 , - 7 , lembrando que estamos encontrando apenas os valores de x e z pois y está lá parado em 2 !

Tomando x = - z , teremos, na segunda equação:

x 2 + - x 2 - x 2 = 21

x = ± 21

E temos mais outros dois pontos! P 5 = 21 , 2 , - 21 e P 6 = - 21 ,   2 ,   21 , pois x e z têm sinais trocados ;)

Passo 10

Agora chegou a hora! Vamos pegar os 7 pontos que encontramos, de P 0 a P 6 , substituir na função, e ver quais são máximo ou mínimo!

Substituindo P 0 em f x , y , z , temos:

f 0,5 , 0 = x z + 2 y =

0.0 + 2.5 = 10

Substituindo P 1 em f x , y , z , temos:

f 4 3 3 , 3 , 4 3 3 = x z + 2 y =

4 3 3 2 + 6 = 34 3

Substituindo P 2 em f x , y , z , temos:

f - 4 3 3 , 3 , - 4 3 3 = x z + 2 y = 34 3

Substituindo P 3 em f x , y , z , temos:

f 7 , 2 , 7 = x z + 2 y =

7 + 4 = 11

Substituindo P 4 em f x , y , z , temos:

f - 7 , 2 , - 7 = x z + 2 y = 11

Substituindo P 5 em f x , y , z , temos:

f 21 , 2 , - 21 = x z + 2 y =

- 21 + 4 = - 17

Substituindo P 6 em f x , y , z , temos:

f - 21 ,   2 ,   21 = x z + 2 y = - 17

Portanto, o maior valor de f x , y , z ocorre em P 1 e P 2 , que é 34 3 , e o menor ocorre em P 5 e P 6 , e é - 17

Resposta

O valor de máximo é 34 3 e de mínimo é - 17

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