Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

O plano x = z corta o paraboloide x = y 2 + z 2 em uma elipse. Ache o ponto desta curva mais próximo da origem, e o mais distante. Use o método de Lagrange.

Sugestão: Esboce o gráfico.

Passo 1

Esse é um problema de Multiplicadores de Lagrange com duas restrições. Vamos começar identificando a função que encontraremos os valores extremos:

F x , y , z = D 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Definindo as restrições:

G x = z - x

H x = y 2 + z 2 - x

Passo 3

Calculando os gradientes:

∇ F = 2 x , 2 y , 2 z

∇ G = - 1,0 , 1

∇ H = - 1,2 y , 2 z

Vamos ter:

∇ F = λ ∇ G + μ ∇ H

O sistema de equações vai ficar:

2 x = λ - 1 + μ - 1

2 y = λ 0 + μ 2 y

2 z = λ 1 + μ 2 z

z = x

x = y 2 + z 2

Passo 4

Da segunda equação, vamos ter:

2 y = μ 2 y

2 y 1 - μ = 0

Então, vamos ter 2 casos.

Caso 1:

μ = 1

Da terceira equação:

λ = 0

Da primeira equação:

2 x = - 1 → x = - 1 2

Da quarta equação:

z = x = - 1 2

Da ultima equação:

- 1 2 = - 1 2 2 + z 2

z 2 = - 1 2 - 1 4

Não existe valor real de z que satisfaça a equação.

Caso 2:

y = 0

Da última equação

x = z 2

Porém da terceira equação:

x = z

Então:

z 2 - z = 0 → z z - 1 = 0

Caso 2.1 :

z = 0

x = 0

y = 0

Temos o ponto P 0 = 0 , 0,0

Caso 2.2 :

z = 1

x = 1

y = 0

Temos o ponto P 1 = 1 , 0,1

Passo 5

Verificando os valores que a função assume nos pontos P 0 e P 1 , temos:

F x , y , z = D 2 = x 2 + y 2 + z 2

F 0,0 , 0 = 0

F 1,0 , 1 = 2

Logo o ponto P 0 = 0 , 0,0 , pertencente a interseção das superfícies, é o ponto mais próximo da origem (é a própria origem) e o ponto P 1 = 1,0 , 1 , pertencente a interseção das superfícies, é o ponto mais distante da origem.

Resposta

Ponto mais próximo P 0 = 0 , 0,0   , ponto mais distante P 1 = 1,0 , 1 .

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