Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

Seja f x , y , z = x + y + z . Considere a curva C dada pela interseção das superfícies de equações x 2 + y 2 = 1 e x + y - z = 1 . Então, o valor máximo de f x , y , z em C é:

  1. 2 2 + 1
  2. 3
  3. 2 2 - 1
  4. 3 2
  5. Não sei

Passo 1

A ideia é utilizar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições. Calculando o gradiente de f x , y , z temos:

∇ f x , y , z = 1,1 , 1

Passo 2

Ajeitando as outras restrições e calculando os gradientes:

x 2 + y 2 - 1 = 0

G x , y , z = x 2 + y 2 - 1

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Da outra restrição:

x + y - z = 1

x + y - z - 1 = 0

H x , y , z = x + y - z - 1

∇ H x , y , z = 1,1 , - 1

Passo 3

O sistema de equações vai ficar:

1 = λ 2 x + μ 1 1 = λ 2 y + μ 1 1 = λ 0 + μ - 1 x 2 + y 2 = 1 x + y - z = 1

Da terceira equação:

μ = - 1

Substituindo na primeira equação:

λ 2 x = 2

λ x = 1

Da segunda equação:

λ 2 y = 2

λ y = 1

Dividindo λ x = 1

Por

λ y = 1

Temos:

x = y

Substituindo na quarta equação:

x 2 + x 2 = 1

x = ± 2 2 ,   y = ± 2 2

Substituindo na ultima equação:

2 x - 1 = z

2 2 2 - 1 = z

z = 2 - 1

Ou

2 x - 1 = z

2 - 2 2 - 1 = z

z = - 2 - 1

Ou seja temos os pontos:

P 1 = 2 2 , 2 2 , 2 - 1

P 2 = - 2 2 , - 2 2 , - 2 - 1

Passo 4

Agora é só substituir em f x , y , z e verificar o mairo valor:

f P 1 = 2 2 - 1

f P 2 = - 2 2 - 1

Logo o valor máximo é:

f P 1 = 2 2 - 1

Resposta

c)   2 2 - 1

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