Assinale a aplicação que NÃO é linear:

a   T :   R 3 → R 3 , onde T ( v → ) é a projeção ortogonal dos vetores do R 3 no plano x - 2 y + z = 0 , seguida de rotação de 30 ° em torno do eixo Y

b   T : R 3 → R 4 , onde T x ,   y ,   z = ( 2 x + y ,   - z ,   x - y + 2 z ,   z - x )

c   T : P 3 → P 3 , onde: T p x = p ' ( x ) e P 3 = p   p é um polinômio de grau ≤ 3 } .

d   T :   R 3 → R 3 , onde: T x ,   y ,   z = 2 x + y ,   - z x ,   x + y + z 2

Passo 1

Nós já sabemos que tanto rotações como projeções ortogonais são funções lineares.

Logo a composição dessas duas funções também é linear!

Isso descarta a letra ( a ) .

A letra ( b ) usa apenas combinações lineares de x , y e z , que são 2 x + y , - z , x - y + 2 z e z - x . Isso faz com que a transformação também seja linear.

Passo 2

Agora temos que avaliar essa ( c ) .

Temos o seguinte:

T p = T ( a x 3 + b x 2 + c x + d )

T p = d d x ( a x 3 + b x 2 + c x + d )

T p = 3 a x 2 + 2 b x + c

Se usarmos uma base canônica do R 4 ao invés de usar a base do P 3 , podemos até escrever assim:

T a ,   b ,   c ,   d = ( 0 ,   3 a ,   2 b ,   c )

Como temos apenas combinações lineares de a , b ,   c e d , a transformação tem que ser linear.

Passo 3

Pô, essa última tá na cara! =P

Se pra você não está tão na cara assim, olha aquele termo - z x ali.

Esse termo não é linear, pois - z x não é uma combinação linear de z e x . ;)

Resposta

Letra ( d )

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Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v