Seja b ∈ R e considere o sistema linear homogêneo

x 1 + x 2 + b x 3 = 0 , 2 x 1 + 3 x 2 + b x 3 = 0 , - x 1 - x 2 - b x 3 = 0 , - x 1 + 1 - b x 3 = 0

nas incógnitas reais x 1 , x 2 e x 3 . Temos que o subespaço de R 3 formado pelo conjunto das soluções desse sistema terá dimensão igual a 1 se, e somente se, b for igual a:

  1. 2 ;
  2. 1 ;
  3. 0 ;
  4. - 1 ;
  5. - 2 .

Passo 1

Fala aí, meu povo! Como vocês estão?

Aqui nessa questão nós temos um sistema de 4 equações e 3 incógnitas e o que o enunciado quer é que a gente descubra qual valor de b faria com que o conjunto de soluções tivesse dimensão 1 .

Beleza! Mas como proceder? Bom, vamos pensar juntos: quando um sistema de 3 incógnitas tem uma solução de dimensão 1 ?

Boa pergunta! Bom, dimensão 1 quer dizer que uma das incógnitas tem que ser livre e as outras duas têm que ser variáveis dependentes. E a gente consegue isso se o nosso sistema tiver apenas 2 equações! Para ficar mais claro, vamos pegar um exemplo hipotético:

x 1 + x 2 - x 3 = 0 2 x 1 + 3 x 2 - x 3 = 0

Como são duas equações, em cada uma delas a gente pode isolar uma das variáveis em função das demais, essas duas que nós isolarmos e escrevermos em função ficam como variáveis dependentes. Já a que sobrou fica como variável livre e temos um conjunto de soluções de dimensão 1. Olha só, vamos fazer isso:

x 1 + x 2 - x 3 = 0

⇒ x 1 = - x 2 + x 3

Substituindo na segunda equação:

2 ( - x 2 + x 3 ) + 3 x 2 - x 3 = 0

⇒ x 2 + x 3 = 0

⇒ x 2 = - x 3

Substituindo na expressão para x 1 :

x 1 = - x 2 + x 3

⇒ x 1 = - ( - x 3 ) + x 3

⇒ x 1 = 2 x 3

Ou seja, dessas duas equações com três incógnitas, isolando e substituindo nós obtivemos:

  • x 1 = 2 x 3
  • x 2 = - x 3

Juntas, essas duas condições mostram para gente que o conjunto de soluções é da forma:

x 1 , x 2 , x 3 = 2 x 3 , - x 3 , x 3 = x 3 2 , - 1,1 ,               x 3 ∈ R

Com duas variáveis dependentes e uma livre, a solução tem dimensão 1 . Ficou claro?

Pois bem, mas agora talvez você esteja pensando “Ok, entendi sim, mas o que isso tem a ver com o nosso problema?” E eu te digo: tudo! Porque nós também temos um sistema com 3 incógnitas, mas com 4 equações. Ali em cima eu disse que pra dimensão da solução ser 1 , a gente ia precisar ter só duas equações. Acontece que isso não é bem verdade, o que a gente precisa mesmo é que tenhamos só duas equações LI!!

Isso já deu pra gente a chave pra resolvermos a nossa questão: se pra gente ter o conjunto solução com dimensão 1 precisamos que só duas equações sejam LI, então nossa estratégia vai ser aplicar algum método de teste de independência linear e torcer que daí encontremos alguma condição a ser satisfeita por b para que isso aconteça!

Vamos lá então!

Passo 2

O método padrão para testar independência linear (LI) é o escalonamento. Quando uma linha zera durante o processo, é porque ela era LD. Nosso sistema de equações, em forma matricial, fica:

1 1 b 2 3 b - 1 - 1 - b - 1 0 1 - b x 1 x 2 x 3 =   0 0 0 0

Pegando a matriz de coeficientes, vamos começar fazendo as seguintes operações elementares sobre as linhas:

  • Multiplicar a primeira linha por - 2 e somar com a segunda;
  • Somar a primeira linha com a terceira;
  • Somar a primeira linha com a quarta.

Feito isso, obtemos:

1 1 b 0 1 - b 0 0 0 0 1 1

Permutando a terceira e quarta linhas, temos:

1 1 b 0 1 - b 0 1 1 0 0 0

Por fim, se multiplicarmos a segunda linha por - 1 e somarmos com a terceira, temos:

1 1 b 0 1 - b 0 0 1 + b 0 0 0

Show! Agora que está na forma escalonada, vejamos o seguinte: a quarta linha já deu toda zero, mas a terceira linha não! Precisamos de só duas equações LI, então precisamos também zerar a linha 3 . Para isso, precisamos que:

1 + b = 0

⇒ b = - 1

E tá pronto! Encontramos nossa resposta, alternativa (d).

Passo 3

Passo 4

Já encontramos nossa resposta, mas só como um bônus, vamos ver como fica nossa matriz para o valor de b = - 1 que encontramos:

1 1 - 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

As duas primeiras linhas, que são as únicas não nulas, correspondem ao sistema de equações:

x 1 + x 2 - x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0

Da segunda equação, temos:

x 2 + x 3 = 0

⇒ x 2 = - x 3

Substituindo na primeira equação:

x 1 + x 2 - x 3 = 0

⇒ x 1 + - x 3 - x 3 = 0

⇒ x 1 = 2 x 3

Logo, a solução geral do nosso sistema é da forma:

x 1 , x 2 , x 3 = 2 x 3 , - x 3 , x 3 = x 3 2 , - 1,1 ,               x 3 ∈ R

Notou que essa resposta é a mesma que a do exemplo “hipotético” que eu dei lá em cima para ilustrar a estratégia que iríamos adotar? Já não parece mais tão hipotético assim né hahah

Gostou? 😉 Vamos para mais uma questão!

Resposta

(d) - 1 ;

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Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v