Considere as bases. 𝛽   =   1,1 , 1,0 , e 𝐶   =   1 ,   𝑡   + 𝑡 2 ,   𝑡 2   , 𝑡 2   +   𝑡 3 , bases de 𝑅 2   e   𝑃 3 𝑅 ,respectivamente . Se 𝑇 :   𝑅 2 → 𝑃 3 𝑅 é a transformação linear tal que:

𝑇 𝛽 𝐶

é:

Então 𝑇 0,1

é:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin, dessa vez estaremos trabalhando com matriz de mudança de base. Muito bacana, né? Nosso objetivo nessa questão é descobrir quem é a transformação linear 𝑇   que leva os vetores de 𝛽 para um polinômio formado com os elementos da base de 𝐶   . Vamos nessa!!

Passo 2

Como comentei no passo 1, essa é uma questão que envolve mudança de base. Existe um teorema que diz como podemos relacionar uma transformação linear entre dois espaços de dimensão finita quaisquer. Lembram dele? Vamos revisar!!!!

O Teorema diz o seguinte,

𝑇 𝑢 𝐶   = 𝑇 𝛽 𝐶 ⋅ 𝑢 𝛽  

Ou seja nossa transformação fica:

𝑇 0,1 𝐶   = 𝑇 𝛽 𝐶 ⋅ 0,1 𝛽  

Já temos 𝑇 𝛽 𝐶 , mas quem é 0,1 𝛽   ?

Passo 3

No passo anterior revisamos o teorema que diz como construir a matriz que representa a transformação linear entre dois espaços de dimensão finita. Mas observamos que era necessário saber 0,1 𝛽   , mas quem é esse vetor?

Essa notação indica que estamos transformando o vetor 0,1 representado na base canônica para sua representação na base 𝛽 . Como fazemos isso?

Pode parecer difícil, mas não é. Só precisamos escrever o vetor 0,1 como combinação linear dos elementos da base de 𝛽 . Vamos fazer, que ficará mais claro. Nosso objetivo então é encontrar 𝑎   e   𝑏

tais que:

0,1   =   𝑎 ⋅ 1,1   +   𝑏 1,0

Resolvendo obtemos

𝑎   =   1  

𝑏   =   − 1  

Então nosso vetor 0,1 𝛽  

será:

0,1 𝛽   =   𝑎 , 𝑏

Passo 4

Pronto, agora podemos calcular 𝑇 0,1 𝐶   = 𝑇 𝛽 𝐶 ⋅ 0,1 𝛽  

𝑇 0,1 𝐶   = 𝑇 𝛽 𝐶 ⋅ 1 , − 1  

Na forma matricial fica:

Portanto, 𝑇 0,1 𝐶   = 3,1 , − 1   , − 3  

E para finalizarmos a questão, precisamos dessa transformação linear gerada por esse vetor. Como estamos na base 𝐶   temos:

𝑇 0,1   = < 3,1 , − 1   , − 3 , 1 ,   𝑡   + 𝑡 2 ,   𝑡 2   , 𝑡 2   +   𝑡 3   >

(calculando o produto interno)

= 3 ⋅ 1   +     1 𝑡   + 𝑡 2   − 1   𝑡 2   − 3 𝑡 2   +   𝑡 3  

= 3   +     𝑡     − 3 𝑡 2   − 3 𝑡 3  

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

3   +     𝑡     − 3 𝑡 2   − 3 𝑡 3  

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Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v