A transformação linear T : R 3 → R ³ leva ( 1,0 , 1 ) em ( 2,4 , 0 ) e ( 1 , - 1,0 ) em ( 1,2 , 0 ) . Determine v não nulo tal que T v = 0 . Essa transformação pode ser sobrejetora?

Passo 1

E aí, vamos lá pra mais uma?

Dessa vez, vamos falar sobre transformação linear (que é tipo uma função só que no mundo da álgebra linear hahaha)

Aqui temos uma transformação linear T tal que

T 1,0 , 1 = ( 2,4 , 0 )

T 1 , - 1,0 = ( 1,2 , 0 )

E aí queremos encontrar um vetor v onde

T v = ( 0,0 , 0 )

Nesse exercício vai ser primordial que a gente lembre as propriedades de uma Transformação Linear:

- T u ± v = T u ± T v

- T λ v = λ T ( v )

E também vamos reparar que os dois vetores que ele deu são linearmente dependentes. Podemos usar isso a nosso favor, olha:

2,4 , 0 = 2 ∙ ( 1,2 , 0 )

Boa, agora sim, vamos lá!

Passo 2

Vamos lá, sabemos que

2,4 , 0 = 2 ∙ ( 1,2 , 0 )

Ou seja:

2,4 , 0 - 2 ∙ 1,2 , 0 = ( 0,0 , 0 )

Mas temos que 2,4 , 0 = T ( 1,0 , 1 ) e 1,2 , 0 = T 1 , - 1,0 , então vamos substituir:

T 1,0 , 1 - 2 ∙ T 1 , - 1,0 = ( 0,0 , 0 )

Como T λ v = λ T ( v ) , podemos escrever:

T 1,0 , 1 - T 2 ∙ 1 , - 1,0 = 0,0 , 0

T 1,0 , 1 - T 2 , - 2,0 = 0,0 , 0

Como T u ± v = T u ± T v , podemos escrever:

T 1,0 , 1 - 2 , - 2,0 = 0,0 , 0

Ou sejaa, subtraindo os vetores temos que

T - 1,2 , 1 = 0,0 , 0

Portanto, o vetor v em que T v = 0,0 , 0 vai ser:

v = - 1,2 , 1

Passo 3

O exercício também pergunta se essa transformação linear T pode ser sobrejetora

Sabemos que em uma transformação T : V → W , se a dimensão de V e de W forem iguais (como é o nosso caso, já que estamos indo de R ³ para R ³ ), a transformação T vai ser sobrejetora se, e somente se, ela for injetora

Até aqui beleza.

Para que T seja injetora, o núcleo dela tem que ter apenas o vetor nulo 0,0 , 0 . Resumindo, o único vetor u tal que T u = 0,0 , 0 tem que ser apenas u = 0,0 , 0

Opa! Mas a gente acabou de ver no passo 2 que

T - 1,2 , 1 = 0,0 , 0

Ou seja, a transformação T não é injetora!!

E PORTANTO, também não é sobrejetora!!

E é isso hahaaha

Resposta

v = - 1,2 , 1

Não pode ser sobrejetora

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