Sejam F e G os operadores lineares de R 2 tais que

F B = 1 0 0 2     e     G C = - 1 0 1 1 ,

Em que B denota a base canônica de R 2 e C = { 1,0 , 1,1 } .

Se G   ∙ F 1,1 = ( a , b ) , então a + b   é igual a

a   3 ,     b   0 ,     c   1 ,     d   2 ,     e   4 .

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bom, para começar essa questão vamos ver que para acharmos G   ∙ F precisamos escrever ambas numa mesma base. Vamos, portanto, escrever G na base B .

Vamos lembrar que B = { 1,0 , 0,1 }

E lembrarmos que:

G B = P G c T

Onde P é a matriz transformação de B para C e, T = P - 1 é de C para B.

Passo 2

Agora, para achar P basta escrevermos os vetores da base B = { 1,0 , 0,1 } como combinação dos vetores da base C.

1,0 = 1 1,0 + 0 1,1 = 1,0 c

0,1 = 1 1,0 + 1 1,1 = 1,1 c

Logo:

P = 1 1 0 1

Tomando P - 1 = a b c d

Além disso, P ∙ P - 1 = I 2 →   1 1 0 1 a b c d = 1 0 0 1

a + c b + d c d = 1 0 0 1

Logo:

a = 1 ; b = - 1 ; c = 0   e   d = 1

Então:

P - 1 = a b c d = 1 - 1 0 1

Passo 3

Voltando...

G B = P G c T = 1 1 0 1 - 1 0 1 1 1 - 1 0 1 = 1 1 0 1 - 1 1 1 0

G B = 0 1 1 0

Com isso, agora podemos multiplicar as matrizes, pois ambas tão nas mesmas referencias.

G   ∙ F = 1 0 0 2 ∙ 0 1 1 0 = 0 1 2 0

E, portanto:

G   ∙ F 1,1 = 0 1 2 0 1 1 = 1 2 =   a b

Logo a + b = 3

Resposta

Letra A

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Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v