01) Seja T : M 2 R → R a transformação linear definida por:

T a b c d = a + d ,

Para quaisquer a , b , c , d ∈ R . Considere as seguintes afirmações:

  1. T é injetora;
  2. K e r ( T ) é gerado por:
  3. 1 0 0 - 1 ,     0 0 1 0 e 0 1 0 0 ;

  4. O subespaço vetorial:

W = A ∈ M 2 R :     A 2 - 1 - 3 2 = 2 - 1 - 3 2 A

De M 2 ( R ) está contido em K e r T .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas a afirmação II é verdadeira;

b) apenas a afirmação I é verdadeira;

c) apenas as afirmações II e III são verdadeiras;

d) apenas a afirmação III é verdadeira;

e) todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

Faala aí galerinhaa, como é que vocês estão?

Essa questão é bem interessante, basicamente ela nos dá uma transformação linear T , cujo domínio são as matrizes 2 × 2 de coeficientes reais, e o contradomínio são os próprios números reais:

T a b c d = a + d

Massa! A partir disso são feitas algumas afirmações e precisamos verificar se elas são verdadeiras ou não (o clássico de álgebra linear né galera?! Haha).

I) Pra começar devemos verificar se T é injetora.

Mas, o que significa uma transformação linear T ser dita injetora?

Bom, chamar uma transformação de injetora significa que:

T v 1 = T v 2 ⇔ v 1 = v 2

Ou seja, cada elemento do domínio relaciona-se com um elemento diferente do contradomínio.

Então tá, vamo usar a definição pra tentar provar.

Vou chamar:

v 1 = x y w z

∴ T v 1 = x + z  

Agora vamos chamar:

v 2 = m n p q

Logo:

T v 2 = m + q

Beleza! O passo final é supor que T v 1 = T ( v 2 ) e ver se é possível afirmar que, com certeza, v 1 = v 2 . Sacaram?

Daí:

T v 1 = T v 2

∴ x + z = m + q

Pô, isso não implica que v 1 = v 2 . De fato, existem infinitos pares de números reais ( x , z ) e ( m , q ) tais que suas somas coincidem. Por exemplo:

x , z = 1,2

⇒ x + z = 3

E:

m , q = 3,0

⇒ m + q = 3

Viram? Por isso, concluímos que T não é injetora.

Entenderam a ideia dessa prova pela definição? É bem importante hein.

Passo 2

II) A segunda afirmação diz que o espaço nulo de T , K e r T , é gerado por:

1 0 0 - 1 ,   0 0 1 0 ,   0 1 0 0

Lembra como fazemos pra encontrar o espaço nulo de T ?

Hahaha, calma. O espaço nulo é o subespaço do domínio que contém todos os elementos (no caso dessa questão, matrizes) tais que:

T M = 0

Sacou? Então novamente, bora usar essa definição pra determinar a base do espaço nulo de T .

Inicialmente, supomos que M = x y w z   ∈ K e r ( T ) , logo:

T x y w z = x + z

Como, supostamente, M ∈ K e r ( T ) , vem:

x + z = 0

∴ z = - x

Voltando para a matriz, temos:

M =   x y w - x

Agora vem uma dica legal. Pra descobrir a base que gera as matrizes tipo M ,   é só irmos tirando essas constantes pra fora da matriz. Tipo:

M = x ⋅ 1 y w - 1

⇒ M = x ⋅ 1 0 0 - 1 + 0 y w 0

Tão pegando a ideia? Podemos tirar w e y também, logo:

M = x 1 0 0 - 1 + w 0 0 1 0 + y 0 1 0 0

Bouaaa! Conseguimos descobrir então que se M ∈ K e r ⁡ ( T ) , então ela é combinação linear dos vetores:

1 0 0 - 1 ,   0 0 1 0 ,   0 1 0 0

Massa!! Isso já significa que a afirmação II é verdadeira, muito bom.

Uma observação legal é que isso poderia nos ajudar também na afirmação I, pois em uma transformação injetora a dimensão do espaço nulo é sempre zero! Ou seja:

dim ⁡ K e r T = 0

Maaas, como vimos agora dim ⁡ K e r T = 3 , reforçando que T realmente não é injetora.

Legal né? Vamo simbora!

Passo 3

III) Devemos verificar se o subespaço vetorial

W = A ∈ M 2 R :     A 2 - 1 - 3 2 = 2 - 1 - 3 2 A

Está contido em K e r ( T ) . Ou seja, se todas as matrizes A ,   2 × 2 , com coeficiente reais, e que obedecem à equação matricial acima, pertencem ao espaço nulo de T .

O ponto importante aqui galera é que todas as matrizes que pertencem a W precisam pertencer a K e r ( T ) .

Ou seja, se tá muito difícil conseguir encontrar qual o tipo geral da matriz A , podemos buscar apenas um exemplo de A e testar na nossa transformação.

Se T ( A ) = 0, então não podemos afirmar nada e precisamos pegar outros exemplos ou tentar demonstrar valendo mesmo.

Maaaas, se para pelo menos uma matriz A , tivermos T A ≠ 0 , a afirmação já é falsa.

Agora me diz aí, qual a matriz A mais simples de todas que com certeza satisfaz:

A 2 - 1 - 3 2 = 2 - 1 - 3 2 A

É a matriz identidadeeee!!!

De fato:

1 0 0 1 2 - 1 - 3 2 = 2 - 1 - 3 2 1 0 0 1

Então bora testar se T I é realmente igual a zero.

T 1 0 0 1 = 1 + 1

Logo,

T I = 2

Portanto, encontramos uma matriz de W que não pertence ao espaço nulo de T . Logo, concluímos que W   não é um subespaço de K e r ( T ) , entenderam?

Assim, a afirmação III é falsa!

Prontinhoo, finalizando temos que apenas a afirmação II é verdadeira.

É isso aí pessoal, espero que vocês tenham entendido bem. Até a próxima 😊

Resposta

Letra A.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v