Seja T : M 4 R → M 4 R um operador linear e considere as seguintes afrmações:

I   T é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços de T é igual a 16;

( I I ) se A é a matriz que representa T com respeito a alguma base de M 4 ( R ) , então det ⁡ 2 A = 16 det ⁡ A

( I I I ) se T é diagonalizável e 4, -4, 16, -16 pertencem ao conjunto dos autovalores de T , então a matriz que representa T com respeito a qualquer base de M 4 ( R ) é inversível.

Assinale a alternativa correta:

a )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

b ) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

c )   apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

d )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

e )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaaaaa, blz?? Bora para mais uma provinha, essa aqui envolvendo um operador, bora começar vamos olhar para primeira afirmação:

T   é   d i a g o n a l i z á v e l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   a   s o m a   d a s   d i m e n s õ e s   d o s   a u t o e s p a ç o s   d e   T   é   i g u a l   a   16 ;

Para mostrar que essa afirmação é verdadeira, vamos pensar no seguinte:

Nós só podemos diagonalizar uma matriz A n , n , se existir uma base de autovetores para o domínio de T.

Ou seja, dizemos que uma matriz é diagonalizavel se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n.

Porém não confunda as coisas, a transformação do problema leva as matrizes 4 por 4 em matrizes 4 por 4, porém a matriz transformação de T não é uma matriz 4x4. Nesse caso, temos que dim ⁡ M 4 ( R ) = 16 , ou seja, ajustando o conceito falado acima, temos:

“dizemos que T é diagonalizavel se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de T é 16”, por isso a afirmação é verdadeira.

Passo 2

Bora agora para segunda afirmação.

A   é   a   m a t r i z   r e l a c i o n a d a   a   T ,   d e   a l g u m a   b a s e   d e   M 4   ( R )     e n t ã o     d e t ⁡ ( 2 A ) = 16   d e t A  

Nessa afirmação, vamos lembrar o seguinte conceito:

S e   t e m o s   k ∈ R   e   A ∈ M n × n ( R ) ,   e n t ã o   det ⁡ k A = k n d e t ⁡ ( A )

A ideia é aplicar isso no problema.

Como foi dito, temos que dim ⁡ M 4 ( R ) = 16 , ou seja, a matriz que representa T é do tipo 16 × 16 , e por isso, pelo o que foi dito:

det ⁡ 2 A = 2 16 d e t ⁡ ( A )

Logo a afirmação tá errada.

Passo 3

E para finalizar, vamos ver essa última afirmação:

T     é   d i a g o n a l i z á v e l ,   c o m   4 , - 4,16 , - 16     a u t o v a l o r e s ,   e n t ã o   a   m a t r i z   d e   T   é   i n v e r s í v e l

Bom, essa afirmação é falsa, bora pensar o seguinte. Para T ser inversível, precisamos que det ⁡ A ≠ 0 , onde A é a matriz que representa o operador.

Agora, veja que podemos ter 0 como autovalor associado a T, nesse caso, na matriz diagonal teríamos uma coluna sendo zero, o que tornaria o determinante nulo, por isso não inversível.

Resposta

Letra C

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