Considere R 2 munido do produto interno usual e seja T um operador linear de R 2 que satisfaz T u , T ( v ) = u , v , para todos u , v   ∈ R 2 . Sejam a , b   ∈ R e suponha que T 1,0 = a , b e T 0,1 = ( b , a ) . Nessa situação, considere as seguintes afirmações:

I   a b = 0

I I   a 2 + b 2 = 1

I I I   a ≥ 0   e   b ≥ 0

Está correto o que se afirma em

a   I ,   a p e n a s  

b   I   e   I I I ,   a p e n a s

c   I   e   I I ,   a p e n a s

d   I , I I , I I I

e   I I   e   I I I ,   a p e n a s

Passo 1

Bora começar pela primeira afirmação.

Para fazermos aparecer a b , podemos aplicar o produto interno nos vetores a , b   e   ( b , a )

T 0,1 , T ( 1,0 ) = ( 0,1 ) , ( 1,0 ) = 0 = ( a , b ) , ( b , a ) = 2 a b , logo:

a b = 0

Passo 2

Agora para fazer aparecer a 2 + b 2 podemos fazer o produto interno de a , b   e   ( a , b )

T a , b , T ( a , b ) = a , b , ( a , b ) = a 2 + b 2 = ( 1,0 ) , ( 1,0 ) = 1

Logo é verdade.

Passo 3

Nessa última afirmação basta olharmos que:

T u , T ( v ) = u , v = - u , - v

Ou seja, temos:

T u =   - u

T 1,0 = - 1,0 = ( - 1,0 )

Mas T 1,0 = a , b

Logo T 1,0 = a , b = ( - 1,0 )

Nesse caso temos a = - 1 , logo a afirmação é falsa

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v