Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

a)Se T : R ² - . R ² é uma transformação linear, então T 1,0 , T ( 0,1 ) é base ortonormal de R².

b) Se T : R ² - . R ² é uma transformação linear tal que T 1,0 , T ( 0,1 ) é base ortonormal de R², então T é diagonalizável.

c) Se T : R ² - . R ² é uma transformação linear tal que T 1,0 , T ( 0,1 ) é base ortonormal de R², então T é ortogonalmente diagonalizável.

d) Se T : R ² - . R ² é uma transformação linear tal que sua matriz [T] na base canônica é ortogonal , então |det([T])|=1.

Passo 1

Para mostrar que uma afirmativa é FALSA, precisamos apenas de um contra exemplo.

Para o caso da letra a) podemos pensar no seguinte...

Se T(x, y) = (0, 0), T é T.L., mas {T(1, 0); T(0, 1)} = {(0, 0)} não é base de R², pois com certeza a origem não vai gerar o R²

Sendo assim, a afirmativa é FALSA.

Passo 2

Vamos a letra b)

Para iniciar essa ideia, vamos pensar na seguinte transformação:

T x , y = - y , x

Se pensarmos na seguinte transformação:

T 1,0 ,   T 0,1 = 0 , 1 ,   - 1 , 0

Essa vai ser a base ortonormal do R ² , pois os se fizermos o produto interno teremos:

0,1 .   - 1,0 = 0  

Além disso o módulo dos dois vetores é 1.

Vamos verificar se ele é diagonalizável, para isso primeiro acharemos os autovalores, para isso teremos:

T - λ I = - λ 1 - 1 - λ = λ ² + 1 = 0

Mas essa equação não tem solução real, então T não é diagonalizável!

Encontramos nosso contraexemplo, podemos dizer então que a afirmação é FALSA.

Passo 3

No item anterior vimos que para : T x , y = - y , x

T não é diagonalizável, logo também não será ortogonalmente diagonalizável.

Portanto, FALSA.

Passo 4

Uma das interpretações sobre o determinante, é que o seu módulo será igual a área em questão.

Portanto,se temos um paralelogramo formado por T(1,0) e T(0,1), ele necessariamente será um quadrado que terá área 1, ou seja, o módulo do determinante será igual a 1.

VERDADEIRO

Resposta

  1. FALSO
  2. FALSO
  3. FALSO
  4. VERDADEIRO

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