01) Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno e seja T : V → V um operador linear simétrico. Se v e w são vetores de V tais que v ∈ K e r T - 3 I ,   w ∈ K e r ( T - 4 I ) e v = w = 2 , então ‖ T v - w ‖ é igual a:

A) 10

B) 20

C) 70

D) 30

E) 85

Passo 1

Faaala galera, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos um operador linear simétrico de V em V , onde V é um espaço vetorial. v e w são vetores de V   tais que:

T v = 3 v

T w = 4 w

Além disso, também é falado que v = w = 2 .

O objetivo do exercício é determinarmos ‖ T v - w ‖ .

Eaí, alguma ideia pra começar?

Então, sempre que a gente quer calcular a norma de um vetor devemos nos lembrar do produto interno, pois:

x 2 =   < x , x >

Além disso, é importante notar que v e w são autovetores associados a autovalores diferentes ( 3 e 4 , respectivamente). Daí, podemos concluir que v e w são L.I, logo:

< v ,   w >   = 0

Beleza! Agora vamos pras contas!

Passo 2

Partindo do nosso produto interno, temos:

T v - w 2 =   < T v - w ,   T v - w >

Pela propriedade da transformação linear, sabemos que:

T v - w = T v - T ( w )

Assim:

T v - w 2 =   < T v - T w ,   T v - T w >

Mas, como vimos no primeiro passo, 3 e 4 são autovalores associados a v e w , respectivamente. Daí:

  < T v - T w ,   T v - T w >   = < 3 v   -   4 w ,   3 v - 4 w >

Pelo axioma da aditividade do produto interno, podemos separar essa soma:

< 3 v   -   4 w ,   3 v - 4 w >   =   < 3 v ,   3 v >   +   < 3 v ,   - 4 w >   +   < - 4 w ,   3 v >   +   < - 4 w ,   - 4 w >

Substituindo < v , w >   =   < w , v >   = 0 , temos:

< 3 v   -   4 w ,   3 v - 4 w >   =   < 3 v , 3 v >   +   < - 4 w ,   - 4 w >

Já tá ficando bonito! Pra melhorar um pouco mais, bora usar o axioma da homogeneidade, que permite colocar as constantes para fora do produto interno! Daí:

< 3 v , 3 v >   +   < - 4 w ,   - 4 w >   = 9 < v , v >   + 16 < w , w >

Mas < v , v >   = v 2 e < w , w >   = w 2 . Assim:

< 3 v , 3 v >   +   < - 4 w ,   - 4 w >   = 9 ⋅ 2 2 + 16 ⋅ 2 2

Daí:

T v - w 2 = 100

Portanto:

T v - w = 10

  Prontinho, gente! Essa até que foi bem rápida. Espero vocês na próxima 😉

Resposta

Letra A: 10 .

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