Considere as afirmações abaixo

  1. Se A m x n representa uma transformação sobrejetiva, então A x = b sempre tem solução para qualquer b ∈ R m
  2. Se T : U → V é uma transformação linear injetiva e que { u 1 , u 2 , u 3 } ⊂ U é gerador de U , então { T u 1 , T u 2 , T u 3 } é gerador de V
  1. Ambas são falsas
  2. Ambas são verdadeiras
  3. Apenas a 2 é verdadeira
  4. Apenas a 1 é verdadeira

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!! Nosso objetivo é verificar a veracidade das afirmações 1, e 2

.

Vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz que se A m x n representa uma transformação sobrejetiva, então A x = b sempre tem solução para qualquer b ∈ R m

É aí, será que é verdade? Bem, se a transformação T é sobrejetiva, então a dimensão da imagem é igual a dimensão do contradomínio, isto é, d i m ( I m ( T ) ) = d i m ( R m ) . Como, por definição, a I m ( T ) ⊂ R m e a imagem tem a mesma dimensão, então I m ( T ) = R m . Isso significa que nosso sistema linear sempre vai ter solução para qualquer b ∈ R m . Com isso, provamos que a primeira afirmação é verdadeira

Passo 2

No passo anterior, vimos que a primeira afirmação era verdadeira. Vamos checar a segunda afirmação. Ela diz que se T : U → V é uma transformação linear injetiva e que { u 1 , u 2 , u 3 } ⊂ U é gerador de U , então { T u 1 , T u 2 , T u 3 } é gerador de V .

E aí, galera. Será que é sempre verdade? Vamos pensar em um contra exemplo. Vamos supor que o nosso U = R 3 e o nosso V = R 4 . é a transformação T é tal que

T e 1 = ( 1,0 , 0,0 )

T e 2 = ( 0,1 , 0,0 )

T e 3 = ( 0,0 , 1,0 )

Bem, essa transformação é injetiva, pois os elementos da base de R 3 são levados em vetores distintos e LI. Mas a imagem da transformação não gera o R 4 , já que só temos 3 vetores LI. Então chegamos a conclusão que a segunda afirmação é falsa

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v