Seja T   :   R 3   →   R 4 a transformação linear tal que

em que B   denota a base canônica de R 3 e C denota a base canônica de R 4 .Temos que T é injetora se, e somente se:

(a) a ≠ 1

(b)   a = 1

(c) a = - 1

(d)   a ≠ - 1

(e)   a ≠ 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez vamos trabalhar com a injetividade de uma função. Mas primeiro, vamos analisar a transformação T , onde sabemos que

Mas vish, não temos T temos apenas a matriz de transformação de base. E agora? Agradece, pois a transformação T está operando sobre a base canônica, logo a nossa T B C é a nossa matriz T . Bacana, né?

Tendo isso em mente, nosso objetivo é verificar as condiçõe para T ser injetora. Ou seja, não queremos que vetores distintos sejam levados em um mesmo vetor. Isso implica que vetores L I são levados em vetores L I

Passo 2

Como vimos no passo 1, a nossa T é dada por

Vamos ver o que essa transformação faz com os vetores da base canônica de R 3

T ( 1,0 , 0 ) = ( 1,1 , a , 2 )

T ( 0,1 , 0 ) = ( 0,1 , 2,1 )

T ( 0,0 , 1 ) = ( 1,1 , 1,2 )

Como nosso objetivo é verificar a condição para essa transformação ser injetiva, vimos que isso seria equivalente a mostrar que vetores L I são levados em vetores L I . Como os vetores da base canônica são L I , precisamos que

( 1,1 , a , 2 )

( 0,1 , 2,1 )

( 1,1 , 1,2 )

Sejam, L I . Mas, note que se a = 1 , temos que

( 1,1 , a , 2 ) = ( 1,1 , 1,2 )

Ou seja, os vetores seriam L D . Portando a ≠ 1

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v