1. Considere a seguinte base para R 3 :

X = { 1,1 , 1 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1 }

  1. Determine o operador linear T tal que

T 1,1 , 1 = 0,1 , 2 ,   T 0,1 , 1 = - 1 , - 2,0   e   T 0,0 , 1 = ( 1,2 , 0 )

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema, o enunciado está nos dando uma base, ou seja, um conjunto de vetores

X = { 1,1 , 1 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1 }

Em que eu consigo escrever qualquer vetor do R 3 como combinação linear desses vetores aí e ele quer que a gente descubra a expressão que determina a transformação linear T sabendo que ela possui esses resultados aqui:

T 1,1 , 1 = 0,1 , 2 ,   T 0,1 , 1 = - 1 , - 2,0   e   T 0,0 , 1 = ( 1,2 , 0 )

OPA! O essas transformações já estão sendo aplicadas nos vetores da base 1,1 , 1 , 0,1 , 1   e   0,0 , 1 , né? Isso vai ajudar muito pois a gente sabe que podemos escrever qualquer vetor w = ( x , y , z ) como sendo: w = x 1,1 , 1 + ( y - x ) 0,1 , 1 + ( z - y ) ( 0,0 , 1 )

E aí a gente usa as propriedades das transformações lineares para descobrir a cara dela, beleza?

Então partiu fazer isso 😊

Passo 2

Vamos começar supondo um vetor qualquer w = ( x , y , z ) como eu já disse, a gente consegue escrever esse cara em relação à base X como:

w = x 1,1 , 1 + y - x 0,1 , 1 + z - y 0,0 , 1

Se agora a gente aplica a transformação linear nesse vetor, temos: T w = T [ x 1,1 , 1 + y - x 0,1 , 1 + z - y 0,0 , 1 ]

Usando as propriedades das TL: T u + v = T u + T ( v )

T α u = α T ( u )

A transformação T ( w ) fica com essa cara aqui: T w = x   T 1,1 , 1 + y - x T 0,1 , 1 + ( z - y ) T ( 0,0 , 1 )

EPAAAA! Olha os caras que surgiram... Todos eles foram dados no enunciado 😊 Usando esses resultados temos: T w = x 0,1 , 2 + y - x - 1 , - 2,0 + ( z - y ) ( 1,2 , 0 ) A gente manipula um pouco essas somas e produtos e obtém:

T w = - y + x + z - y ,   x - 2 y + 2 x ,   2 x T w = ( x - 2 y + z , 3 x - 2 y ,   2 x )

Então essa é a cara do operador T : T x , y , z = ( x - 2 y + z , 3 x - 2 y ,   2 x )

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

T x , y , z = ( x - 2 y + z , 3 x - 2 y ,   2 x )

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Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v