Sejam n ≥   4     um inteiro, β uma base de R n , T : R n → R n um operador linear e A   = T β . Denote por I   o operador identidade de R n e considere as seguintes opções.

  1. Se alguma coluna de A   é combinação linear das outras colunas, então o operador T   não é sobrejetor.
  2. Se alguma linha de A     é combinação linear das outras linhas, então 0   é um autovalor de T  
  3. Se K e r T   tem dimensão 2   , tão não existe um autovalor λ     tal que K e r T   -   λ I tenha dimensão n - 1  

Quais delas são verdadeiras?

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma questão mais teórica!!!

Nosso objetivo é verificar quais das afirmações são verdadeiras. Então vamos lá.

Passo 2

Vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz o seguinte: Se alguma coluna de A   é combinação linear das outras colunas, então o operador T   não é sobrejetor.

Como a matriz A   = T β

cujas colunas são as transformações dos vetores canônicos quando aplicados T   representadas na base β . E como β é uma base do espaço, os vetores que formam essa base são linearmente independentes. Tranquilo até aqui?

Logo, se uma das colunas de A   é LD, então a transformação T e i para algum e i vetor canônico é uma combinação linear das demais. Pois quando fazemos mudança de bases, os vetores LI são levados a outros vetores LI. E como temos um dos vetores canônicos sendo levados em um vetor LD isso implica que T   contém uma coluna LD.

Bacana né?

Mas não é isso que queremos provar, queremos verificar se T   é sobrejetor. Mas vimos que T  

tem colunas LD logo:

K e r T   >   0

logo, pelo teorema do núcleo e da imagem, que diz que:

D i m I m T   +     D i m K e r T  

=   D i m V

(a dimensão da imagem de T mais a dimensão do núcleo é a dimensão do espaço de origem )

Temos:

D i m I m T   = D i m V   -     D i m K e r T  

< n  

Ou seja, T     não é sobrejetiva, pois sua imagem tem dimensão menor que n    

Então a primeira afirmação é verdadeira!

Passo 3

Agora podemos verificar a segunda afirmação. Essa afirmação diz que:

Se alguma linha de A   é combinação linear das outras linhas, então 0   é um autovalor de T  

Para verificar essa afirmação vamos mostrar que se A   tem linhas LD então d e t d e t   A     =   0

Bem da propriedade do determinante tem se

d e t d e t   A     =   d e t d e t   A t  

(mas como as linhas de A são LD, então as colunas de sua transposta serão LD)

d e t   A     =   0

Logo A  

tem colunas LD

Ou seja, linhas LD implicam em colunas LD.

Agora podemos usar o resultado que construímos na afirmação 1

Chegamos a conclusão que se A   contém colunas LD então T   também contém colunas LD.

Logo

k e r   T   -   0 I     =   0

Ou seja   0   é um autovalor de T  

.

Então chegamos a conclusão que a segunda afirmação é verdadeira. Só falta verificarmos a última!!

Passo 4

Finalmente, estamos quase terminando a questão!!! 😊

Para finalizar, vamos checar a terceira afirmação. Ela diz o seguinte:

Se K e r T tem dimensão 2   , então não existe um autovalor λ tal que K e r T   - λ I tenha dimensão n - 1  

Bem vamos pensar aqui, qual é a dimensão máxima do espaço gerado pelos autovetores? Será a dimensão do próprio espaço, certo? Mas vimos da afirmação 2 que se K e r T   =   0 , então 0   é autovalor de T   .

Logo, como K e r T tem dimensão 2   , os outros autovetores só podem gerar um espaço de dimensão de no máximo n - 2   .

Logo, é impossível existir um autovalor λ tal que K e r T   - λ I tenha dimensão n - 1    

Então a terceira afirmação é verdadeira!!!

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!! 😊

Resposta

a)

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Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v