Seja T   :   P 3 ( R )   →   M 2 ( R ) a transformação linear definida por

para todo p   ∈   P 3 ( R ) . Temos que

d i m ( K e r ( T ) ) −   d i m ( I m ( T ) )

é igual a:

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) − 1

(e) − 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez vamos trabalhar com núcleo e imagem de uma transformação. Bem, nossa transformação de interesse é dada pela matriz

onde T   :   P 3 ( R )   →   M 2 ( R )

E queremos calcular

d i m ( K e r ( T ) ) −   d i m ( I m ( T ) )

Passo 2

Vamos começar calculando a imagem do núcleo da nossa transformação.

Seja

p ( t ) = a x 3 + b x 2 + c x + d

p ' ( t ) = 3 a x 2 + 2 b x + c

Então,

Para p ( t ) pertencer ao núcleo, precisamos que T ( p ) = 0 . Logo, usando a matriz acima, obtemos as seguintes condições

d = 0

3 a + 2 b + c = 0

Note que a segunda equação tem duas variáveis livres. Logo a dimensão do núcleo será 2 , e será dada pelos polinômios tais que

a x 3 + b x 2 - ( 3 a + 2 b ) x

Já temos a imagem do núcleo de T , vamos obter a dimensão da imagem.

Passo 3

Vamos descobrir a dimensão da imagem de T . Para isso, podemos usar o teorema do núcleo e da imagem. Lembram dele? Ele diz que se T : V → W transformação linear, então

d i m ( V ) = d i m ( k e r ( T ) ) + d i m ( I m ( T ) )

No nosso caso, V = P 3 ( R ) que tem dimensão 4 , pois uma base para esses polinômios é { 1 , x , x 2 , x 3 }

Logo, temos que

4 = 2 + d i m ( I m ( T ) )

⇒ d i m ( I m ( T ) ) = 2

Ou seja, temos que

d i m ( K e r ( T ) ) −   d i m ( I m ( T ) )

= 2 - 2

= 0

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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