15) Seja F ( R , R ) o espaço vetorial de todas as funções f : R → R e sejam f 1 ,   f 2 ,   f 3 ∈ F ( R , R ) definidas por:

f 1 t = s e n 2 t ,       f 2 t = cos ⁡ 2 t e f 3 t = e - t ,

para qualquer t ∈ R . Temos que:

B = f 1 ,   f 2 ,   f 3

é uma base do subespaço vetorial V de F ( R , R ) gerado por B . Se T : V → V for a transformação linear definida por:

T f = f ' ,

para qualquer f ∈ V , então T B será igual a:

a) 0 - 2 0 2 0 0 2 0 - 1 ;

b) 0 - 2 1 2 0 0 0 0 - 1 ;

c) 0 - 2 0 2 0 0 0 1 - 1 ;

d) - 2 - 2 0 - 2 0 0 0 0 - 1 ;

e) 0 - 2 0 2 0 0 0 0 - 1 .

Passo 1

Eaí gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um problema um pouco diferente, agora temos um espaço vetorial das funções reais. Legal né?

Dentro desse espaço, há um subespaço vetorial de funções, V , gerado a partir da base:

B = f 1 ,   f 2 ,   f 3

onde:

f 1 t = s e n 2 t ,       f 2 t = cos ⁡ 2 t e f 3 t = e - t

Massa! Pra ninguém ficar com saudades, existe também uma transformação linear T , com domínio e contradomínio em V , que é definida da seguinte forma:

T f = f '

para toda f ∈ V .

O objetivo da questão é determinar a matriz T B , entenderam?

Mas, quem é a matriz T B ?

T B é a matriz que representa a transformação linear T , dentro da base B .

Tipo assim, se a gente escrever qualquer função como uma combinação linear de f 1 ,   f 2 e f 3 , e aplicar a matriz T B , ela nos dará a função resultante de T . Pegou a ideia?

Daí, pra escrever T B basta saber os valores de T f 1 ,   T f 2 ,   T ( f 3 ) .

T B = | | | T ( f 1 ) T ( f 2 ) T ( f 3 ) | | |

Massa! Então bora calcular esses caras!

Passo 2

Começando por f 1 , sabemos que:

f 1 = s e n 2 t

Logo,

T f 1 = s e n 2 t '

Aplicando a regra da cadeia, temos:

T f 1 = 2 cos ⁡ 2 t

Agora é onde entra a base B , precisamos escrever T ( f 1 ) em função de B .

Ou seja:

2 cos ⁡ 2 t = a ⋅ s e n 2 t + b ⋅ cos ⁡ 2 t + c ⋅ e - t

O bom é que esse sistema é bem tranquilo de resolver, e já vemos que devemos ter:

a = 0

b = 2

c = 0

Ou seja:

T f 1 = ( 0,2 , 0 )

Conseguiu compreender esse procedimento?!

Vamos fazer a mesma coisa para T ( f 2 ) e T ( f 3 ), beleza?

Bora lá!

T f 2 = cos ⁡ 2 t '

∴ T f 2 = - 2 s e n 2 t

Logo, escrevendo em função de B :

- 2 s e n 2 t = a ⋅ s e n 2 t + b ⋅ cos ⁡ 2 t + c ⋅ e - t

Assim:

a = - 2

b = 0

c = 0

Portanto:

T f 2 = ( - 2,0 , 0 )

Por último, bora analisar T ( f 3 ) .

T f 3 = e - t '

∴ T f 3 =   - 1 ⋅ e - t

Logo, escrevendo em função de B :

- 1 ⋅ e - t = 0 ⋅ s e n 2 t + 0 ⋅ cos ⁡ 2 t - 1 ⋅ e - t

Portanto:

T f 3 = ( 0,0 , - 1 )

Muito bomm!

Passo 3

Agora já estamos com a faca e o queijo na mão, é só dar a tacada final!

Como falamos antes, a matriz T B é dada por:

T B = | | | T ( f 1 ) T ( f 2 ) T ( f 3 ) | | |

Além disso, sabemos que, em função da base B vale:

T f 1 = 0,2 , 0 T f 2 = - 2,0 , 0 T f 3 = 0,0 , - 1

Excelente! Juntando as duas informações vem:

T B = 0 - 2 0 2 0 0 0 0 - 1

Prontinho!! Matamos mais uma questão 😊

Valeu pessoal, espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😉

Resposta

Letra e.

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Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v