07) Considere a base B de R 2 dada por

B = 1,2 ,   0,1

e seja T : R 2 → R 2 a transformação linear tal que:

T B = 1 2 - 2 1

Denote por C a base canônica de R 2 . Se

T C = a b c d

então a + d e b + c serão iguais respectivamente a:

a) - 2   e 4 ;

b) 2 e - 2 ;

c) - 2 e 8 ;

d) 2 e - 8 ;

e) 2 e - 4 ;

Passo 1

Faaala pessoal, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos uma transformação linear T , com domínio e contradomínio em R 2 . São dadas duas bases do R 2 , a base B e a base canônica. Também é dada a matriz que representa a transformação linear dentro da base B :

T B = 1 2 - 2 1

Essa matriz recebe um vetor escrito na base B e devolve, depois de aplicar a transformação T , um vetor também escrito na base B .

A questão nos pede para determinar T C ,   ou seja, a matriz que recebe um vetor escrito na base canônica e devolve, após aplicar a transformação T , um vetor também escrito em C .

Massa! Mas como é que podemos escrever essa matriz T C ?

Então galera, sempre que queremos escrever uma matriz que represente uma transformação linear em uma dada base precisamos saber duas coisas: T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) . Ou seja, o valor da transformação para os vetores que compõem essa base. Depois é só escrever:

T C = | | T ( 1,0 ) T ( 0,1 ) | |

Pegaram a ideia? Então beleza, bora pras contas!

Passo 2

Passo 3

Como falamos antes, precisamos descobrir quanto que vale T 1,0 C e T 0,1 C .

Mas, como já temos a matriz T B , e conhecemos também a sua base B escrita em função da base canônica, temos que:

T 1,2 C = 1 , - 2 B

T 0,1 C = 2,1 B

Vamos então pegar esses vetores que foram cuspidos na base B e escrevê-los na base canônica:

1 , - 2 B = 1 1,2 - 2 ( 0,1 )

∴ 1 , - 2 B = 1,0 C  

Boauaa! Para 2,1 B , temos:

2,1 B = 2 1,2 + 1 0,1

∴ 2,1 B = 2 ,   5 C

Muito bom! Isso significa que já sabemos alguns valores importantes da transformação dentro da base C , olha:

T 1,2 C = 1,0 C T 0,1 C = 2,5 C

Excelente!! Ter descoberto T 0,1 C foi ótimo, agora já conhecemos a segunda coluna de T C .

Passo 4

Pra matar de vez essa questão precisamos calcular T 1,0 C . Parece bem complicado né? Mas, encontramos uma equação bem interessante pra o vetor ( 1,0 ) certo?

1 1,2 - 2 0,1 = ( 1,0 )

Todos esses vetores estão escritos na base canônica. Assim, podemos aplicar a transformação T dos dois lados, pois já conhecemos os valores de T ( 1,2 ) e T ( 0,1 ) em C .

Show, então bora lá!

T 1,0 = T 1 ⋅ 1,2 - 2 ⋅ T 0,1

Só que as transformações lineares são homogêneas, ou seja, a gente pode tirar as constantes pra fora da transformação, e aí vai ficar algo tipo assim:

T 1,0 = 1 ⋅ T 1,2 - 2 ⋅ T ( 0,1 )

Ótimo! Já sabemos que, na base canônica, T 1,2 = ( 1,0 ) e T 0,1 = 2,5 . Substituindo vem:

T 1,0 = 1 ⋅ 1,0 - 2 ⋅ 2,5

T 1,0 = ( - 3 ,   - 10 )

Aeee, excelente galera! Agora, lembrando que:

T C = | | T ( 1,0 ) T ( 0,1 ) | |

É só substituir, e teremos:

T C = - 3 2 - 10 5

Daí, pra terminar, pelo enunciado temos:

a b c d = - 3 2 - 10 5  

vamos ter que:

a + d = 2 b + c =   - 8

Boaaaa! Terminamos!

Conseguiram entender tudinho tudinho? É isso então, até a próxima pessoal 😉

Resposta

Letra d: 2 e - 8 .

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