USP Álgebra Linear 2 P2 2016
Seja um operador linear e denote por a matriz que representa com respeito a base canônica de . Suponha que:
;
e
Onde Representa o operador identidade.Então pode ser escrita como:
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin, dessa vez uma sobre diagonalização.
O enunciado quer que achamos outra forma de reescrever a matriz e para isso ele nos informa que:
;
e
Ou seja ele nos dá de brinde os autovetores e autovalores de . Vamos usar isso para reescrever .
Passo 2
No passo anterior, falamos que o enunciado nos dá os autovetores e autovalores de . Mas vamos relembrar a definição deles.
Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Esse polinômio é:
E os autovetores, são os vetores nos núcleo de , com autovalor.
Passo 3
Agora que temos maior conhecimento sobre as informações passadas no enunciado, como será que podemos reescrever a matriz ? O que vocês acham?
Isso aí, como temos os autovalores e os autovetores de podemos diagonalizar. Vamos refrescar nossa memória.Uma matriz é diagonalizável se pode ser escrita da forma
Com matriz diagonal contendo os autovalores e matriz onde suas colunas são os autovetores associados a cada autovalor de em ordem.
Passo 4
Agora só nos resta escrever da forma . Mas antes disso, vamos olhar o autovetor , o que tem de especial nele? A princípio nada, mas ele pode ser escrito como . E múltiplos de um autovetor também é autovetor. Então podemos substituir
por
(os dois vetores estão no núcleo)
Então a matriz é:
E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!
Resposta
c)
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