Seja 𝑇 : 𝑅 3 → 𝑅 3 um operador linear e denote por 𝐴   ∈ 𝑀 3 𝑅 a matriz que representa 𝑇   com respeito a base canônica de 𝑅 3 . Suponha que:

𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝐼   =   2,4 , 0

; 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   0,1 , − 1

e   1,0 , 1   ∈ 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   + 𝐼

Onde 𝐼   Representa o operador identidade.Então 𝐴   pode ser escrita como:

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin, dessa vez uma sobre diagonalização.

O enunciado quer que achamos outra forma de reescrever a matriz 𝐴   e para isso ele nos informa que:

𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝐼   =   2,4 , 0

; 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   0,1 , − 1

e   1,0 , 1   ∈ 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   + 𝐼

Ou seja ele nos dá de brinde os autovetores e autovalores de 𝐴   . Vamos usar isso para reescrever 𝐴   .

Passo 2

No passo anterior, falamos que o enunciado nos dá os autovetores e autovalores de 𝐴   . Mas vamos relembrar a definição deles.

Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Esse polinômio é:

𝑝 𝑡   =   d e t d e t   𝐴   −   𝑡 𝐼  

E os autovetores, são os vetores nos núcleo de 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝑡 𝐼   , com 𝑡   autovalor.

Passo 3

Agora que temos maior conhecimento sobre as informações passadas no enunciado, como será que podemos reescrever a matriz 𝐴   ? O que vocês acham?

Isso aí, como temos os autovalores e os autovetores de 𝐴   podemos diagonalizar. Vamos refrescar nossa memória.Uma matriz é diagonalizável se pode ser escrita da forma

𝐴   =   𝑃 𝐷 𝑃 − 1

Com 𝐷   matriz diagonal contendo os autovalores e 𝑃   matriz onde suas colunas são os autovetores associados a cada autovalor de 𝐷   em ordem.

Passo 4

Agora só nos resta escrever 𝐴   da forma 𝑃 𝐷 𝑃 − 1 . Mas antes disso, vamos olhar o autovetor 2,4 , 0 , o que tem de especial nele? A princípio nada, mas ele pode ser escrito como 2 ⋅ 1,2 , 0 . E múltiplos de um autovetor também é autovetor. Então podemos substituir

𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝐼   =   2,4 , 0

por 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝐼   =   1,2 , 0

(os dois vetores estão no núcleo)

Então a matriz 𝐴   é:

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

c)

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v