Seja T : R 3 → R ³ a transformação linear que realiza uma reflexão em relação ao plano x 1 x 2 seguida de uma rotação de ângulo π 2 no sentido anti-horário em torno do eixo x 1

a) Determine a matriz canônica de T

Passo 1

Faaaala pessoal, bora lá matar mais uma questãozinha de álgebra linear

Antes de tudo, só pra deixar a notação mais fácil: esse exercício considera os eixos x 1 ,   x 2 ,   x 3 . Vamos considerar o basicão x , y , z ok??

Aqui temos uma transformação linear T que faz o seguinte:

- Ela pega o vetor de entrada ( x , y , z )

- Aí ela reflete esse vetor ( x , y , z ) em relação ao plano x y

- Por fim, ela roda esse vetor em π 2 = 90 ° em torno do eixo x no sentido anti-horário

E aí queremos encontrar a matriz canônica dessa transformação linear que faz tudo isso aí hahahaha vamos lá!

Passo 2

Então vamos traduzir cada passo:

- Temos T x , y , z

- A reflexão no plano x y quer dizer que estamos invertendo o sinal da coordenada z

T 1 x , y , z = ( x , y , - z )

- Quando rodamos o vetor 90 ° em torno do eixo x no sentido anti-horário, estamos fazendo isso aqui:

O vetor preto é antes de rodar e o vetor rosa é após a rotação, ok? Repara que a gente manteve a coordenada z e invertemos o sinal da coordenada y , e o x fica igual porque estamos girando em torno dele

Agora se girarmos o vetor rosa vamos obter esse vetor roxo:

Repara que agora mantivemos a coordenada y e invertemos o sinal da coordenada z

Ou seja, o que acontece nessa rotação em 90 ° é o seguinte:

x n o v o = x a n t i g o

z n o v o = y a n t i g o ∙ s e n   90 °

y n o v o = - z a n t i g o ∙ s e n   90 °

Passo 3

O exercício também pergunta se essa transformação linear T pode ser sobrejetora

Sabemos que em uma transformação T : V → W , se a dimensão de V e de W forem iguais (como é o nosso caso, já que estamos indo de R ³ para R ³ ), a transformação T vai ser sobrejetora se, e somente se, ela for injetora

Até aqui beleza.

Para que T seja injetora, o núcleo dela tem que ter apenas o vetor nulo 0,0 , 0 . Resumindo, o único vetor u tal que T u = 0,0 , 0 tem que ser apenas u = 0,0 , 0

Opa! Mas a gente acabou de ver no passo 2 que

T - 1,2 , 1 = 0,0 , 0

Ou seja, a transformação T não é injetora!!

E PORTANTO, também não é sobrejetora!!

E é isso hahaaha

Resposta

v = - 1,2 , 1

Não pode ser sobrejetora

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v