Seja n   um inteiro positivo, V   um espaço vetorial de dimensão n   e T : V → V   um operador linear. Considere as seguintes condições:

  1. T   É inversível
  2. T   Tem n   autovalores não nulos distintos
  3. T   É diagonalizável

Assinale a alternativa correta:

  1. 1 implica 2; 3 implica 2
  2. 2 implica 3; 3 implica 1
  3. 1 implica 2; 3 implica 1
  4. 2 implica 1; 3 implica 1
  5. 2 implica 1; 2 implica 3

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bacana pois, é uma questão teórica

Vamos anotar tudo que sabemos do enunciado. V  

é um EV de dimensão n   , e T   um operador linear em V     Queremos saber quais das condições implicam as outras. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar checando se a afirmação 2) implica a 1) ou a 3). Isto é:

Se T   tem n   autovalores não nulos distintos então T     é inversível.

Vamos, primeiro, relembrar a definição de autovalor.

λ é um autovalor de T     se:

A v   = λ v  

⇒   A v   -   λ v   = 0  

⇒   A   -   I λ v   = 0

(se v pertence ao núcleo, então o determinante da matriz é zero)

⇒   d e t   A   -   I λ     =   0

No nosso caso, os n   autovalores são NÃO nulos e distintos então como zero não é autovalor.

(Substituindo zero na equação acima)

⇒ d e t   A   -   I ⋅ 0     ≠   0

⇒   d e t   A     ≠   0

Logo A   é inversível

Uhul, conseguimos verificar que 2) implica 1). Vamos checar se 2) implica 3)

Passo 3

No passo anterior, chegamos a conclusão que a afirmação 2) implica na afirmação 1). Vamos checar se 2) implica 3).

Isto é: vamos verificar se T   tem n   autovalores não nulos distintos então T   é diagonalizável.

Mas o que é uma matriz ser diagonalizável mesmo? Vamos revisar.

Dizemos que A   é diagonalizável se pode ser escrita da seguinte forma:

A   =   P D P - 1

Com D   uma matriz diagonal onde suas entradas são os autovalores de A   , e P   a matriz onde suas colunas são os autovetores de A   .

Como já sabemos que que T   tem n   autovalores não nulos e DISTINTOS, isto implica que seus autovetores são diferentes e linearmente independentes (vamos provar isso!). Então podemos construir a matriz P   de autovetores e calcular a sua inversa.

Vamos mostrar que se temos dois autovalores distintos, então temos que ter dois autovetores distintos. Sem perda de generalidade, suponha que nossos autovalores são 2 e 3, e eles estão associados a um mesmo autovetor v   então, pela definição de autovetor

A v   =   2 v  

A v   =   3 v  

(subtraindo as equações)

0 =   v  

Ou seja, nosso autovetor teria que ser o vetor zero, que é um absurdo pela definição de autovetor!

Logo, T   é diagonalizável

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e)

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