Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 e T :     V → V uma transformação linear não nula tal que

T T v = 0 ,

Para todo v ∈ V . Considere as seguintes afirmações:

I dim ⁡ K e r T = 1 ;

I I dim ⁡ I m T = 2 ;

I I I   I m T = K e r T .

Assinale a alternativa correta:

a ) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

b )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

c ) apenas a afirmação ( I I I ) é necessariamente verdadeira;

d )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

e )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

Passo 1

Falaa, blzz? Bora para o final dessa provinha, agora um problema envolvendo transformação linear e dimensão de espaços.

Bora tentar tirar algumas informações sobre a transformação que tem T T v = 0

Se a transformação não é nula, podemos tomar um v ∈ V com T ( v ) ≠ 0 , colocando na transformação, temos que T T v = 0 , por isso temos que:

T ( v ) ∈ K e r ( T )

Como T ( v ) ≠ 0 , temos que dim ⁡ K e r T ≥ 1  

Além disso, pelo mesmo fato de T ( v ) ≠ 0 e usando que T ( v ) ∈ I m ( T ) , podemos concluir que dim ⁡ I m T ≥ 1

Essas são as informações que conseguimos tirar de forma mais direta, bora ver o que fazer com isso.

Passo 2

Achamos informações sobre a dimensão do núcleo e da imagem, consegue lembrar um conceito que une isso?

Estamos falando do teorema núcleo imagem, bora lembrar:

O teorema nos diz que se temos T : U → V , conseguimos a seguinte relação:

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m ( T )

Usando isso no problema, temos que:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m ( T )

Porém dim ⁡ V = 2 , ou seja:

2 =   dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Agora, vamos lembrar que dim ⁡ K e r T ≥ 1   e dim ⁡ I m T ≥ 1 . Agora pense, temos dois números naturais, maiores ou iguais a 1 que somados dão 2, a única chance disso ocorrer é:

dim ⁡ K e r T = 1

dim ⁡ I m T = 1

Passo 3

Aqui já sabemos que a primeira afirmação tá certa, basta checarmos a última.

Para checarmos se I m T = K e r T , podemos tomar a seguinte atitude. Checar a igualdade de conjuntos é análogo a checar se eles estão contidos um no outro, ou seja, basta checarmos que:

I m T ⊂ K e r T   e   K e r T ⊂ I m ( T )

Se as duas coisas acima ocorrerem, podemos concluir que I m T = K e r ( T )

Porém nesse problema temos uma peculiaridade, como dim ⁡ I m T = dim ⁡ K e r ( T )   , basta provarmos uma das duas inclusões. Entende o motivo disso? Bora ver melhor:

Se temos um espaço contido no outro e os dois tem mesma dimensão, como isso pode ocorrer? Eles sendo iguais, apenas.

Um jeito de ver isso é pensando que se tivermos uma reta, contida em outra reta, como isso é possível? Elas sendo a mesma. Então precisamos provar apenas uma das duas inclusões, bora lá:

Vamos ver se I m T ⊂ K e r T :

Para isso, vamos tomar x   ∈ I m ( T ) , se isso ocorre, existe v ∈ V tal que T v = x

Pela hipótese do enunciado, temos que T T v = 0 , ou seja, substituindo:

T x = 0

Por isso, temos que x ∈ K e r ( T ) , daí temos que I m T ⊂ K e r T e pelos argumentos anteriores, temos que a última afirmação tá correta

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v