Seja um 𝑉   espaço vetorial de dimensão 5   e 𝑇 : 𝑉 → 𝑉   um operador linear cujo polinômio característico é

𝑝 𝑇 𝑡   =   − 𝑡 3 𝑡 − 2 2

Denote por 𝐼   o operador identidade de 𝑉   . Então o operador 𝑇   é diagonalizável se e somente se:

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma questão mais teórica!!!

Nosso objetivo é verificar se o operador 𝑇   ,cujo polinômio característico é

𝑝 𝑇 𝑡   =   − 𝑡 3 𝑡 − 2 2

é diagonalizável.

Passo 2

Bem, o que é polinômio característico mesmo? Vamos dar uma relembrada. O polinômio característico de um operador linear é definido como:

𝑝 𝑇 𝑡   =   d e t d e t   𝑇   − 𝑡 𝐼  

Essa definição é familiar, onde será que já a vimos?

Na definição de autovalor!!!! Lembram que 𝑡   é autovalor se d e t d e t   𝑇   − 𝑡 𝐼     =   0 . Isto é, se 𝑡  

é raiz do polinômio característico.

Então como nosso polinômio característico é

𝑝 𝑇 𝑡   =   − 𝑡 3 𝑡 − 2 2

Ele tem como raízes

0   e   2

Passo 3

Já revisamos a definição de polinômio característico, e vimos que ele é usado para calcular os autovalores de um operador. Mas vamos lembrar que nosso objetivo é verificar qual a condição é necessária para diagonalizar 𝑇   .

Que condição será essa? Será a mesma condição para qualquer outro operador linear. Lembram qual é essa condição? Vamos relembrar!!!

Lembraram? A condição é a seguinte!!! A soma das dimensões dos espaços gerados pelos autovetores associados a cada autovalor tem que ser igual a dimensão do espaço original. No nosso caso igual a 5   . Em outras palavras, precisamos que

∑ 𝜆   d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝜆 𝐼     =   5

onde 𝜆 é um autovalor de 𝑇   .

No passo anterior, vimos que 𝑇   tem dois autovalores, 0   e   2 , então a equação acima fica:

d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   0 𝐼     + d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   5

(portanto)

d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇       + d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   5

Essa é a condição que precisa ser satisfeita para 𝑇   ser diagonalizável, mas será que podemos reescrevê-la de outra forma? O que vocês acham?

Passo 4

Nos passos anteriores chegamos a conclusão que para nosso operador 𝑇   ser diagonalizável a seguinte condição precisa ser satisfeita.

d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇       + d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   5

Mas podemos reescrever o d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇     de outra forma, como vamos fazer isso? Usando o teorema do núcleo e da imagem, que diz o seguinte:

𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑇   +     𝐷 𝑖 𝑚 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇  

=   𝐷 𝑖 𝑚 𝑉

(a dimensão da imagem de T mais a dimensão do núcleo é a dimensão do espaço de origem )

Como a 𝐷 𝑖 𝑚 𝑉   =   5

temos:

𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑇   +     𝐷 𝑖 𝑚 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇     =   5

⇒   𝐷 𝑖 𝑚 𝐾 𝑒 𝑟 𝑇     =   5   −   𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑇    

Substituindo essa relação na condição que obtemos resulta em:

d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇       + d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   5

⇒   5   −   𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑇   + d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   5

⇒ −   𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑇   + d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   0

(multiplicando por -1)

⇒ 𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑇   − d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   0

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!! 😊

Resposta

𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑇   − d i m d i m   𝐾 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 𝐼   =   0

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