11) Seja T : P 2 R → R 3 a transformação linear tal que:

T 1 - 2 t = 1,1 , 0 ,           T 2 + t 2 = ( 1,0 , 1 ) e T 3 t - t 2 = 0,1 , 1 .

Temos que T 7 + 7 t + 7 t 2 é igual a:

a) - 1 ,   6 ,   - 5 ;

b) 1 ,   6 ,   - 5 ;

c) - 1 ,   - 6 ,   - 5 ;

d) - 1 ,   - 6 ,   5 ;

e) ( 1 ,   - 6 ,   5 ) .

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão? Tudo certinho?

Nessa questão temos uma transformação linear T , com domínio em P 2 ( R ) e contradomínio em R 3 . Sobre T não é dada a sua definição, apenas são falados três valores:

T 1 - 2 t = ( 1,1 , 0 ) T 2 + t 2 = 1,0 , 1 T 3 t - t 2 = ( 0,1 , 1 )

A pergunta é sobre o valor de T ( 7 + 7 t + 7 t 2 ) , entenderam?

Puts, o problema todo é que não temos a definição de T pra calcular T ( 7 + 7 t + 7 t 2 ) . Será que é uma boa tentarmos encontrar essa definição (ou a matriz que representa essa transformação), ou tem um caminho mais fácil?

Passo 2

Então galera, não precisamos determinar a definição mesmo de T . Lembram da propriedade que caracteriza uma transformação como linear?

  T a v 1 + b v 2 = a T v 1 + b T ( v 2 )

Isso! Como sabemos o valor de T para três polinômios destintos, podemos tentar escrever 7 + 7 t + 7 t 2 como uma combinação linear desses caras. Pegaram a ideia?

Daí:

7 + 7 t + 7 t 2 = a 1 - 2 t + b 2 + t 2 + c 3 t - t 2

7 + 7 t + 7 t 2 = a + 2 b + t - 2 a + 3 c + t 2 ( b - c )

Aí, pra determinar a , b e c é só montar um sisteminha:

a + 2 b = 7       ( I ) - 2 a + 3 c = 7       ( I I ) b - c = 7     ( I I I )

De ( I ) temos:

b = 7 - a 2

De I I , temos:

c = 7 + 2 a 3

Substituindo esses resultados em ( I I I ) , vem:

7 - a 2 - 7 + 2 a 3 = 7

⇒ 21 - 3 a - 14 + 4 a = 42

∴ - 7 a = 42 - 7

a = - 5

Logo:

b = 6

c =   - 1

Bouaaa! Conseguimos determinar ( 7 + 7 t + 7 t 2 ) como uma combinação linear dos três vetores que sabemos o valor de suas transformações T .

Passo 3

Agora é só usar a linearidade de T :

T 7 + 7 t + 7 t 2 = T ( - 5 ⋅ 1 - 2 t + 6 ⋅ 2 + t 2 - 1 ⋅ 3 t - t 2 )

Vem que:

T 7 + 7 t + 7 t 2 = - 5 ⋅ T 1 - 2 t + 6 ⋅ T 2 + t 2 - T ( 3 t - t 2 )

Substituindo os valores abaixo:

T 1 - 2 t = ( 1,1 , 0 ) T 2 + t 2 = 1,0 , 1 T 3 t - t 2 = ( 0,1 , 1 )

Chegamos que:

T 7 + 7 t + 7 t 2 =   - 5 ⋅ 1,1 , 0 + 6 ⋅ 1,0 , 1 - 1 ⋅ 0,1 , 1

T 7 + 7 t + 7 t 2 = - 5 + 6 ,   - 5 - 1 ,   6 - 1

Pra finalizar, chegamos à querida resposta que:

T 7 + 7 t + 7 t 2 = ( 1 ,   - 6 ,   5 )

Aeeeeeee, matamos mais umaa! Boa galeraaaa!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😉

Resposta

Letra E: ( 1 , - 6 ,   5 ) .

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