Se T : P 2 ( R ) → P 2 ( R ) é o operador linear que satisfaz T 1 + t = 2 - 3 t + t 2 , T 1 + t 2 = 1 + t + 2 t 2 e T t + t 2 = - 1 - 2 t + 5 t 2 , e a , b , c   ∈ R   são tais que T 3 - 2 t + 4 t 2 = a + b t + c t 2 , então a + b + c é igual a

Passo 1

Falaaa, blz?? Vamos organizar direito onde queremos chegar para não ficarmos fazendo contas sem sentido.

Queremos T 3 - 2 t + 4 t 2 , como T é operador linear, podemos usar que:

T 3 - 2 t + 4 t 2 = T 3 - T 2 t + T 4 t 2 = 3 T 1 - 2 T t + 4 T ( t 2 )

Ou seja, na prática queremos T 1 ,     T t   e   T ( t 2 )  

Passo 2

Bom, sendo sincero, a primeira fez que fiz foi usando as equações dadas no enunciado, dois a dois, e resolvendo um sistema para achar o que precisamos, porém não dá certo. Então vamos para outra abordagem.

Somando todas equações temos:

T 1 + t + T 1 + t 2 + T t + t 2 = 2 - 3 t + t 2 + 1 + t + 2 t 2 - 1 - 2 t + 5 t 2

T 2 + 2 t + 2 t 2 = 2 - 4 t + 8 t 2

T 1 + t + t 2 = 1 - 2 t + 4 t 2

Passo 3

Agora, veja que podemos achar o que queremos de forma direta:

T 1 = T 1 + t + t 2 - T t + t 2 = 1 - 2 t + 4 t 2 + 1 + 2 t - 5 t 2

T 1 = 2 - t 2  

T t = T 1 + t + t 2 - T 1 + t 2 = 1 - 2 t + 4 t 2 - 1 - t - 2 t 2

T t =   - 3 t + 2 t 2

T t 2 = T 1 + t + t 2 - T 1 + t = 1 - 2 t + 4 t 2 - 2 + 3 t - t 2

T t 2 = - 1 + t + 3 t 2 = a + b t + c t 2 Agora, como T 3 - 2 t + 4 t 2 = 3 T 1 - 2 T t + 4 T ( t 2 )

T 3 - 2 t + 4 t 2 = 3 2 - t 2 - 2 - 3 t + 2 t 2 + 4 ( - 1 + t + 3 t 2 )

T 3 - 2 t + 4 t 2 = 2 + 10 t + 5 t 2 = a + b t + c t 2

Logo, a + b + c = 2 + 10 + 5 = 17

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v