Seja T : R 2 → R 3 a transformação linear que satisfaz:

T ( 1 , - 1 ) = ( 0 , - 1,1 )

T ( 1,2 ) = ( 2 , - 1,0 )

Determine a matriz A tal que T ( x , y ) = A ( x , y ) T . A soma de todos os elementos da primeira coluna de A vale:

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!! Essa é bacana, pois vamos utilizar as propriedades de uma transformação linear

Primeiro, temos que descobrir qual é a matriz A , e depois calcular a soma dos elementos da sua primeira coluna. Bem, sabemos que A é tal que:

T ( x , y ) = A ( x , y ) T

E sabemos também que

T ( 1 , - 1 ) = ( 0 , - 1,1 )

T ( 1 , - 2 ) = ( 2 , - 1,0 )

Como vamos usar essas informações para obter A ?

meme bat

Bem, ao invés de obtermos A , podemos obter só a sua primeira coluna, mas como fazemos isso? Note que

A ( 1,0 ) T = b

Esse vetor b será exatamente a primeira coluna de A , então só precisamos calcular

T ( 1,0 ) .

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que só precisamos obter T ( 1,0 ) , mas como fazemos isso? Vamos usar a linearidade da transformação linear. A propriedade é a seguinte:

T ( a u   +   b v ) = a T u + b T v ,   a , b ∈ R

Então vamos tentar escrever o vetor ( 1,0 ) como combinação linear dos vetores ( 1 , - 1 ) e ( 1,2 ) , pois sabemos calcular a transformação destes que são.

T ( 1 , - 1 ) = ( 0 , - 1,1 )

T ( 1 , - 2 ) = ( 2 , - 1,0 )

Então, temos que

( 1,0 ) = 2 ( 1 , - 1 ) - ( 1 , - 2 )  

Aplicando T

T ( 1,0 ) = T [ 2 ( 1 , - 1 ) - ( 1 , - 2 ) ]  

Usando a linearidade

= 2 T ( 1 , - 1 ) - T ( 1 , - 2 )

Substituindo

= 2 ( 0 , - 1,1 ) - ( 2 , - 1,0 )

= ( - 2 , - 1,2 )

Como falamos no passo 1, essa é a primeira coluna de A , então a soma das entradas da primeira coluna de A é igual a - 1

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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