Considere o espaço vetorial R 3 munido do seu produto interno usual e sejam a , b , c ∈ R . Se o operador linear T : R 3 → R 3 que satisfaz:

T 1,1 , 0 = 1 , a , b ,     T 1 , - 1,0 = 2,4 , c           e         T 0,0 , 1 = ( 3,5 , 6 )

for simétrico, então a + b + c é igual a:

a) 10 2

b) 8 ;

c) 10 ;

d) 2 + 8 2 ;

e) 1 .

Passo 1

Fala aí gente, tudo tranquilo?

Nessa questão recebemos uma transformação linear T e algumas informações:

T 1,1 , 0 = 1 , a , b ,     T 1 , - 1,0 = 2,4 , c           e         T 0,0 , 1 = ( 3,5 , 6 )

O enunciado nos pede para determinar a + b + c de modo que T seja simétrica.

Uma transformação linear é simétrica se a matriz que representa essa transformação também for simétrica. Por isso, nosso objetivo vai ser determinar a matriz que representa T numa base ortonormal, e a partir disso verificar as condições para simetria.

Passo 2

Como recebemos informações da transformação dos vetores:

1,1 , 0 ,   1 , - 1,0 ,   ( 0,0 , 1 )

vamos construir uma base ortonormal a partir desses mesmos vetores.

Como eles já são L I , basta que possuam norma igual a 1 . Assim, temos a base B :

B = 1 2 , 1 2 , 0 ,   1 2 , - 1 2 , 0 ,   0,0 , 1

Logo:

T 1 2 , 1 2 , 0 = 1 2 ⋅ T 1,1 , 0

= 1 2 1 , a , b

Mas, precisamos escrever esse vetor em função da nossa base B . Assim:

T 1 2 , 1 2 , 0 = 1 + a 2 1 2 , 1 2 ,   0 + 1 - a 2 1 2 ,   - 1 2 , 0 + b 2 ( 0,0 , 1 )

Vamos fazer o mesmo procedimento para os outros dois vetores.

Temos que:

T 1 2 , - 1 2 , 0 = 1 2 T 1 , - 1,0

= 1 2 2,4 , c

Colocando novamente em função dos vetores da base B , vem:

T 1 2 , - 1 2 , 0 = 3 1 2 , 1 2 ,   0 + - 1 1 2 ,   - 1 2 , 0 + c 2 ( 0,0 , 1 )

Por fim:

T 0,0 , 1 = 3,5 , 6

Colocando em função dos vetores da base B :

T 0,0 , 1 = 4 2 1 2 , 1 2 ,   0 + - 2 1 2 ,   - 1 2 , 0 + 6 ( 0,0 , 1 )

Muito bom!

Passo 3

Agora podemos montar a matriz que representa a transformação T na base B :

T B = 1 + a 2 3 4 2 1 - a 2 - 1 - 2 b / 2 c / 2 6

Como havíamos comentado, para T ser simétrica, a matriz T B também precisa ser simétrica.

Assim:

1 - a 2 = 3

a = - 5

b 2 =   4 2

∴ b = 8

c 2 =   - 2

∴ c =   - 2

Logo, fazendo:

a + b + c

Temos:

- 5 + 8 - 2 = 1

Portanto:

a + b + c = 1

É isso gente! Espero que vocês tenham entendido bem!

Até a próxima 😊

Resposta

Letra e).

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