16. Considere as bases B = 2,3 , 1,2 e C = 1,1 , 0,1 de R 2 e seja T : R 2 → R 2 a transformação linear tal que:

T C B = 5 3 3 3

Temos que a soma dos dois autovalores de T é igual a:

(a) 6 ;

(b) 7 ;

(c) 5 ;

(d) 4 ;

(e) 8 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, queremos obter a matriz transformação linear T e obter a soma dos seus autovalores.

Pra isso, temos dois subespaços de bases B = 2,3 , 1,2 e C = 1,1 , 0,1 e T C B = 5 3 3 3

E aí, como podemos fazer isso? 🤔

O desafio aqui é obter a matriz transformação T .

Sabemos que T na base C aplicada em B é dada pela matriz T C B

Então se obtermos um vetor combinação linear em C e multiplicar pelo resultado da transformada T C B , podemos encontrar essa matriz T !

Entendeu? 🤔

Passo 2

Primeiro, vamos obter um vetor combinação linear a , b da base C , ou seja

x , y = a 1,1 + b 0,1

a = x a + b = y → b = - x + y

Já temos o resultado da transformada de B , portanto obtemos T a partir do produto de T C B com nosso vetor combinação linear a , b , veja só

T = T C B · a , b

T x , y = 5 3 3 3 x - x + y

T x , y = 5 x - 3 x + 3 y 3 x - 3 x + 3 y = 2 x + 3 y 3 y

Passando T para a forma matricial onde a primeira coluna são os valores de x e a segunda coluna os valores de y , temos

T x , y = 2 3 0 3 x y

Portanto 2 3 0 3 é a matriz que estamos procurando!

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

O que nos resta é obter os autovalores dessa matriz e somá-los

det ⁡ T - λ I = 0

2 - λ 3 0 3 - λ = 0

2 - λ 3 - λ = 0

Assim, podemos ver que as raízes desse polinômio é 2 e 3 , ou seja, os autovalores da matriz T !

Estmos interessados na soma desses valores, ou seja

2 + 3 = 5

Logo, a resposta que procuramos é a alternativa c)!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

(c) 5 ;

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De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v