Considere a transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 dada por

T x , y , z = ( x - y , x - z , y + z )

E denote T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T 2 .

a   Mostre que para todo w ∈ R 3 , o conjunto w , T w , T 2 w , T 3 w é L D .

Passo 1

Letra ( a )

Como já sabemos, um conjunto com 4 vetores no R 3 é sempre L D , pois o máximo de vetores L I nesse espaço são 3 , mas como provar???

Vamos supor que o conjunto é L I . Sendo assim a dimensão daquele subconjunto é 4 . Mas sabemos que este conjunto está contido no R 3 , já que seus elementos são vetores do R 3 , então sua dimensão só pode ser no máximo 3 . Sendo assim, seria um absurdo, e portanto o conjunto só pode ser L D .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v