Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem

À questão “Dado Equation fixo, a transformação Equation dada por Equation é linear?”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

a) Embora Equation seja realmente uma transformação linear, a justificativa do Andrezinho não está correta. Qual foi o erro que ele cometeu?

b) Mostre que Equation é linear.

Passo 1

Equation Andrezinho errou a expressão da Equation e também quem são os elementos do seu domínio. Assim, ele fez variar o vetor coluna Equation enquanto seu domínio é na verdade Equation , ou seja quem deveria variar deveria ser uma matriz Equation e não um vetor coluna!

Assim, ele fixou matriz Equation , e tomou Equation como suas variáveis do problema, provando para uma Equation dada por Equation e não uma Equation dada por Equation .

OBS: Talvez você tenha confundido que Equation , também. Pois o jeito que ficou escrito, ficou meio confuso. Mas não tem problema pensar que Equation seriam números reais e não vetores colunas. Uma justificativa com esse argumento também é válida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Antes de começar, NÃO É NECESSÁRIO EXPANDIR A MATRIZ Equation COMO UMA Equation !! BASTA USAR AS PROPRIEDADES DAS MATRIZES!

Assim para provar que é linear basta fazermos:

  • Equation
  • Equation

Vamos provar essa primeiro:

Equation

Desenvolvendo o lado Equation temos que:

Equation

E assim vemos que Equation !

Passo 3

-

Agora vamos provar que

Equation

Assim, vamos desenvolver o lado Equation :

Equation

E assim podemos ver que os lados Equation e Equation são iguais, E, portanto provamos as condições para nossa Equation ser linear!

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