Seja M 2 X 2 o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas.

Considere a aplicação   T :   M 2 X 2 → R 2 dada por   T a   c b d = a + c ,   b + d .

a) Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

Para mostrarmos que T é uma transformação linear, precisamos de duas condições:

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

Vamos ver então se esse tal de “T” é uma transformação linear...

Passo 2

Vamos desenvolver a nossa transformação do enunciado e ver se a condição (1) é satisfeita.

T a c b d + a ' c ' b ' d ' = T a + a ' c + c ' b + b ' d + d ' = a + a ' + c + c ' ,   b + b ' + d + d ' =

= a + c ,   b + d + a ' + c ' ,   b ' + d ' =   T a c b d + T a ' c ' b ' d '

Passo 3

Agora vamos desenvolver a condição (2).

T k a c b d = T k a k c k b k d = k a + k c , k b + k d = k a + c , b + d = k T k a c b d

Sendo assim, mostramos que T é uma transformação linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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